Studio continuità funzione due variabili

[pic00thunder]

Buongiorno a tutti! Vi propongo l'ennesimo studio della continuità di una funzione a due variabili, utilizzando la definizione di limite.
Vi scrivo innanzitutto la traccia:

Data la funzione: $ f(x,y)={ ( (ysin^2(x-2))/((x-2)^2+y^2) se (x,y)≠2,0)),( 2 se (x,y)=(2,0) ):} $

Studiare l'eventuale continuità di $ f $ in $ (2,0) $ utilizzando la definizione di limite.

Allora, ho ragionato in questo modo: sapendo che una funzione è continua in un punto se $ lim_(x,y -> x_0,y_0) f(x,y)=f(x_0,y_0) $ , ho prima sostituito alla x e alla y i valori 2 e 0 all'interno della funzione, trovandomi in una forma del tipo 0/0, non avendo come soluzione 2 inizio a pensare che la funzione in quel punto non è continua.
Utilizzando la definizione di limite
\( \forall \varepsilon >0 \exists \delta >0 t.c. \forall (x,y)\epsilon \Re - (x_0,y_0) : 0<\sqrt{(x-x_o)^2+(y-y_0)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-\ell |<\varepsilon \)
al posto di \( \ell \) , quale valore dovrei scrivere?

Parlando con la prof, mi ha detto che essendoci il limite notevole del seno, di studiarmi separatamente (tramite definizione di limite a una variabile) quel limite notevole, quindi discutere $ |sin^2(x-2)/(x-2)^2 - 1| < epsilon $ , avendo quindi
$ 1-epsilon successivamente, di sostituire questa disuguaglianza all'interno dello studio del limite a due variabili.
Da quel che ho capito, quando studio $ |(ysin^2(x-2))/((x-2)^2+y^2)-l | Il problema è: quale valore devo inserire al posto di $ l $ all'interno del valore assoluto? Ho pensato a 2, ma la prof ha detto di sostituire 0, quindi devo presupporre che la funzione tenda a 0. Ma come faccio a capirlo? Devo utilizzare le coordinate polari? O le restrizioni a rette?

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte, un buon weekend a tutti!

[quantunquemente]

sì,ma senza complicarsi troppo la vita,la funzione non è continua in $(2,0)$ perchè,ad esempio,sulla retta $x=2$,nei punti diversi da $(2,0)$,la funzione è identicamente nulla

[pic00thunder]

Va benissimo, adesso che ho capito che la funzione è sicuramente non continua (tramite la restrizione a rette), non so come andare avanti. Il dubbio rimane lo stesso: quando utilizzo la definizione, devo considerare la funzione tendente a 0 per poi proseguire nello studio della continuità?
Purtroppo la professoressa vuole che si rispetti il formalismo matematico che richiede (lo so, è una palla al piede )!

[quantunquemente]

ma se la funzione è identicamente nulla su $x=2$,tranne che in $P(2,0)$ è ovvio che non è possibile che $forallepsilon>0,exists I(P): |f(x,y)-2|

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