Studio continuità funzione
Considero $f:RR^2->RR$ definita da $f(x)={(x^3y^2/(x^4+y^6),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$.
Per sapere se è continua in $0$ calcolo
$lim_((x,y)->(0,0))x^3y^2/(x^4+y^6)$
passando alle coordinate polari $x=rcos(theta)$ e $y=rsin(theta)$ ottengo
$lim_(r->0)((r^3cos^3(theta)r^2sin^2(theta))/(r^4sin^4(theta)+r^6sin^6(theta)))=$
$=lim_(r->0)((rcos^3(theta)sin^2(theta))/(cos^4(theta)+r^2sin^6(theta)))$
ora come posso procedere per verificare se questo limite è nullo?
Se c'era un modo più semplice per studiare la continuità nell'origine e sto facendo conti per niente ditemelo
Grazie!
Per sapere se è continua in $0$ calcolo
$lim_((x,y)->(0,0))x^3y^2/(x^4+y^6)$
passando alle coordinate polari $x=rcos(theta)$ e $y=rsin(theta)$ ottengo
$lim_(r->0)((r^3cos^3(theta)r^2sin^2(theta))/(r^4sin^4(theta)+r^6sin^6(theta)))=$
$=lim_(r->0)((rcos^3(theta)sin^2(theta))/(cos^4(theta)+r^2sin^6(theta)))$
ora come posso procedere per verificare se questo limite è nullo?
Se c'era un modo più semplice per studiare la continuità nell'origine e sto facendo conti per niente ditemelo
Grazie!
Risposte
Non mi è chiarissima l'ultima maggiorazione che hai fatto...praticamente da quanto ho capito hai usato il fatto che seno e coseno sono in modulo minori o uguali a 1 giusto? Ma quindi massimizzando il denominatore ottieni una minorazione della nostra espressione e non una maggiorazione, almeno se ho capito quello che volevi fare.
up 
Ok, grazie. Ora è tutto chiaro 
Ora che ho visto che $f$ è continua in $(0,0)$ posso affermare anche che è continua in tutto $RR^2$?
Come lo giustifico? Dico che è composizione di funzioni continue o c'è un modo migliore?
Ora che ho visto che $f$ è continua in $(0,0)$ posso affermare anche che è continua in tutto $RR^2$?
Come lo giustifico? Dico che è composizione di funzioni continue o c'è un modo migliore?
Ok, grazie ancora!
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