Studio continuità e differenziabilità della funzione

[refranco]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio:

Data la funzione

[math]f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
\frac{x\, y\, log( |x|+|y| )}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & se (x,y)\neq (0,0)\\
0& se (x,y)= 0
\end{matrix}\right.[/math]

studiarne la continuità e la differenziabilità.

se mi potete aiutare come svolgere l'esercizio.
grazie.

[mc2]

Innanzi tutto osserviamo che la funzione gode di simmetria:

f(-x,y)=f(x,-y)=-f(x,y) e f(-x,-y)=f(x,y)

per cui e` sufficiente studiare la funzione nel primo quadrante, in cui si puo` scrivere senza valori assoluti.


Conviene usare cooridnate polari:

[math]x=r\cos\theta[/math]

,

[math]y=r\sin\theta[/math]

[math]\lim\limits_{r\to 0}f(r\cos\theta,r\sin\theta)=\lim\limits_{r\to 0}
\frac{r^2\sin\theta\cos\theta\log[r(\sin\theta+\cos\theta)]}{r}=0
[/math]

quindi la funzione e` continua nell'origine.


Derivata parziale rispetto x:

[math]\frac{\partial f}{\partial x}=
\frac{(x^2+y^2)(y\log(x+y)+\frac{xy}{x+y})-x^2y\log(x+y)}{(x^2+y^2)^{3/2}}
[/math]

calcoliamone il limite nell'origine, usando di nuovo coordinate polari:

[math]\lim\limits_{r\to 0}\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta)=
[/math]

[math]=\lim\limits_{r\to 0}
\frac{r^2\left(r\sin\theta\log[r(\cos\theta+\sin\theta)]+\frac{r\cos\theta\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}\right)-r^3\cos^2\theta\sin\theta\log[r(\cos\theta+\sin\theta)]}{r^3}=
[/math]

[math]=\lim\limits_{r\to 0}
\left((\sin\theta-\sin\theta\cos^2\theta)\log[r(\cos\theta+\sin\theta)]
+\frac{\cos\theta\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}\right)=
[/math]

[math]=\lim\limits_{r\to 0}
\left(\sin^3\theta\log[r(\cos\theta+\sin\theta)]
+\frac{\cos\theta\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}\right)=
[/math]

e questo limite dipende da

[math]\theta[/math]

, perche` se

[math]\theta=0[/math]

allora fa 0, se invece

[math]\theta\neq 0[/math]

diverge.
Questo limite quindi non esiste.


Basta questo per dire che la funzione non e` derivabile nell'origine

[refranco]

ciao mi potresti mostrare i passaggi del limite
per il calcolo della continuità...
grazie..

[mc2]

Non ci sono calcoli da fare, si guardano solo le potenze di r:

[math]\lim\limits_{r\to 0}\frac{r^2\cos\theta\sin\theta\log[r(\cos\theta+\sin\theta)]}{r}=
\cos\theta\sin\theta\lim\limits_{r\to 0}\left[r\log r+r\log(\cos\theta+\sin\theta)\right]
[/math]

ed entrambi i termini tendono a zero indipendentemente da

[math]\theta[/math]

Per la derivata rimane il

[math]\log(r)[/math]

che diverge, ma se

[math]\sin\theta=0[/math]

fa zero.

[refranco]

ok grazie mille