Studio continuità e differenziabilità.
Per quanto possa studiarlo l'argomento mi mette sempre una certa difficoltà, infatti in un compito d'esame mi sono bloccata su questo esercizio:
<0 ed è identicamente nulla nel suo complementare.>>
Non so davvero da dove partire....qualcuno può illuminarmi? Grazie in anticipo per le risposte!
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Non so davvero da dove partire....qualcuno può illuminarmi? Grazie in anticipo per le risposte!
Risposte
Ciao e benvenuta nel Forum! 
vogliamo provare a farlo assieme? Tu di solito come parti per risolvere questi esercizi?
vogliamo provare a farlo assieme? Tu di solito come parti per risolvere questi esercizi?
Ciao Andrea e benvenuto/a sul forum, io non so aiutarti più di tanto ma ti seguo volentieri nei tuoi ragionamenti:
hai provato ad immaginarti che aspetto ha questa funzione?
hai provato ad immaginarti che aspetto ha questa funzione?
Ciao Gio 
Per la continuità partirei dalla definizione:
$\lim_{x,y \to \(y,-3y)_+}x+3y=\lim_{x,y \to \(y,-3y)_-}x+3y=f(y,-3y)=0$.
Quindi suppongo che sia continua (giusto?).
Per la differenziabilità vorrei provare ad usare il teorema del differenziale totale, ma in questo caso non so come calcolarmi le derivate parziali....
$\lim_{x,y \to \(y,-3y)_+}x+3y=\lim_{x,y \to \(y,-3y)_-}x+3y=f(y,-3y)=0$.
Quindi suppongo che sia continua (giusto?).
Per la differenziabilità vorrei provare ad usare il teorema del differenziale totale, ma in questo caso non so come calcolarmi le derivate parziali....
Mother of god... 
Cosa sono quei pedici $+$/$-$?
A parte questo, mi pare la strada giusta. Devi far vedere che il valore della funzione nei punti della retta $x+3y=0$ (cioè $0$) coincide con il limite di $f$ per $(x,y)$ che tende a tali punti (del tipo $(-3y,y)$).
Cosa sono quei pedici $+$/$-$?
A parte questo, mi pare la strada giusta. Devi far vedere che il valore della funzione nei punti della retta $x+3y=0$ (cioè $0$) coincide con il limite di $f$ per $(x,y)$ che tende a tali punti (del tipo $(-3y,y)$).
Ciao Andrea e ciao Giuseppe, sono contenta che sei intervenuto così controlli i miei ragionamenti.
Anche secondo me la funzione è continua ed è formata da due semipiani, uno contenuto nel piano $xy$, la cui frontiera è la retta giacente sul piano $xy$ di equazione $y=-1/3x$ l'altro è un semipiano incidente proprio in corrispondenza di questa retta, i due semipiani non sono opposti e formano un angolo diedro minore di 180°.
Anche secondo me la funzione è continua ed è formata da due semipiani, uno contenuto nel piano $xy$, la cui frontiera è la retta giacente sul piano $xy$ di equazione $y=-1/3x$ l'altro è un semipiano incidente proprio in corrispondenza di questa retta, i due semipiani non sono opposti e formano un angolo diedro minore di 180°.
Scusami dovevano stare come apice, per intendere "da destra" e "da sinistra". 
Ed era proprio quello che temevo 
non ha senso, per le funzioni di più variabili, il concetto di limite destro e limite sinistro...ad un punto (del piano ad esempio) ti ci puoi "avvicinare" da infinite direzioni, non più soltanto da due (destra e sinistra appunto).
non ha senso, per le funzioni di più variabili, il concetto di limite destro e limite sinistro...ad un punto (del piano ad esempio) ti ci puoi "avvicinare" da infinite direzioni, non più soltanto da due (destra e sinistra appunto).
Ops 
Quindi per dimostrare la continuità mi basta scrivere
$\lim_{(x,y )\to \(-3y,y)}(3x+y)=0$ ?
Ha senso utilizzare le coordinate polari in questo caso?
Quindi per dimostrare la continuità mi basta scrivere
$\lim_{(x,y )\to \(-3y,y)}(3x+y)=0$ ?
Ha senso utilizzare le coordinate polari in questo caso?
No no che coordinate polari Va benissimo così: osserviamo che
\[\lim_{(x,y)\to (-3y,y)} x+3y=-3y+3y =0\]
il che vuol dire che, qualunque sia la direzione secondo la quale ci avviciniamo ad un punto della retta $x+3y=0$, il limite vale $0$, e coincide con il valore che $f$ assume nei punti della suddetta retta. Come volevamo
Va benissimo così: osserviamo che\[\lim_{(x,y)\to (-3y,y)} x+3y=-3y+3y =0\]
il che vuol dire che, qualunque sia la direzione secondo la quale ci avviciniamo ad un punto della retta $x+3y=0$, il limite vale $0$, e coincide con il valore che $f$ assume nei punti della suddetta retta. Come volevamo
Perfetto! Grazie mille . Qualche input per lo studio della differenziabilità?
. Qualche input per lo studio della differenziabilità?
Faccio qualche tentativo....non so se quello che scrivo ha un senso
Applicando direttamente la definizione avrei:
$lim_((h,k)->(0,0)) (f(x+h,y+k)-f(x,y) -((delf)/(delx))h - ((delf)/(dely))k)/sqrt(h^2 + k^2)$
$=lim_((h,k)->(0,0)) (-3y+h +3y+3k -h-3k)/sqrt(h^2 + k^2)=0 $
Applicando direttamente la definizione avrei:
$lim_((h,k)->(0,0)) (f(x+h,y+k)-f(x,y) -((delf)/(delx))h - ((delf)/(dely))k)/sqrt(h^2 + k^2)$
$=lim_((h,k)->(0,0)) (-3y+h +3y+3k -h-3k)/sqrt(h^2 + k^2)=0 $
Ciao Andrea, oggi ho bisogno di conferme e così sono andata a tirar fuori il mio vecchierrimo libro di Analisi per vedere un po' cosa significa differenziabile per una funzione in più variabili.
Ti racconto quello che ho capito in parole modestissime, come la mia preparazione d'altronde.
Dunque scelgo un punto $P(x_P;y_P)$ e poi un altro $Q(x_Q;y_Q)$ non troppo distanti tra loro, facciamo che $x_Q=x_P+Deltax$ e $y_Q=y_P+Deltay$, poi vediamo un po' che differenza c'è tra il valore che la nostra variabile dipendente $f(x;y)$ assume in corrispondenza del punto P e in corrispondenza del punto Q, certo possiamo avvicinare P e Q quanto vogliamo...
Poi dice che questa differenza vale come la somma di alcuni pezzetti: derivata prima secondo x nel punto $P(x_P;y_P)$ moltiplicata per l'incremento $Deltax$+derivata prima secondo y nel punto $P(x_P;y_P)$ per l'incremento $Deltay$ più altri due pezzetti $alphaDeltax$ e $betaDeltay$ che tendono a 0 se gli incrementi $Deltax$ e $Deltay$ diventano piccolissimi, quasi 0
Spero di aver tradotto in parole quello che hai scritto tu: gli incrementi sarebbero per te $h$ e $k$, credo...
Ora però il teorema del differenziale totale, così lo chiama lo Zwirner, chiede che esistano e siano continue le derivate prime parziali, e questo secondo me non è vero perchè la mia funzione la ottengo unendo due semipiani che hanno inclinazioni differenti...
Spero nell'attenzione di Giuseppe.
Ti racconto quello che ho capito in parole modestissime, come la mia preparazione d'altronde.
Dunque scelgo un punto $P(x_P;y_P)$ e poi un altro $Q(x_Q;y_Q)$ non troppo distanti tra loro, facciamo che $x_Q=x_P+Deltax$ e $y_Q=y_P+Deltay$, poi vediamo un po' che differenza c'è tra il valore che la nostra variabile dipendente $f(x;y)$ assume in corrispondenza del punto P e in corrispondenza del punto Q, certo possiamo avvicinare P e Q quanto vogliamo...
Poi dice che questa differenza vale come la somma di alcuni pezzetti: derivata prima secondo x nel punto $P(x_P;y_P)$ moltiplicata per l'incremento $Deltax$+derivata prima secondo y nel punto $P(x_P;y_P)$ per l'incremento $Deltay$ più altri due pezzetti $alphaDeltax$ e $betaDeltay$ che tendono a 0 se gli incrementi $Deltax$ e $Deltay$ diventano piccolissimi, quasi 0
Spero di aver tradotto in parole quello che hai scritto tu: gli incrementi sarebbero per te $h$ e $k$, credo...
Ora però il teorema del differenziale totale, così lo chiama lo Zwirner, chiede che esistano e siano continue le derivate prime parziali, e questo secondo me non è vero perchè la mia funzione la ottengo unendo due semipiani che hanno inclinazioni differenti...
Spero nell'attenzione di Giuseppe.
Ciao Gio, Andrea per quanto riguarda la derivabilità, trovo esatte le considerazioni di Gio:
E infatti (calcoliamo la derivata parziale rispetto ad $x$):
\[\lim_{t\to 0^+} \dfrac{f(-3y+t, y)-f(-3y,y)}{t}=\lim_{t\to 0^+}\dfrac{(-3y+t+3y)-0}{t}=1\neq \lim_{t\to 0^-}\dfrac{f(-3y+t, y)-f(-3y,y)}{t}=0\]
per cui $\nexists \partial_x f(-3y,y)$ (lo stesso vale per la derivata rispetto a $y$). Se non è chiaro il risultato del limite per $t$ che va rispettivamente a $0^+$ e a $0^-$, un disegnino chiarisce tutto
Segue che, non essendo $f$ derivabile in alcun punto della retta $x+3y=0$, ovviamente, $f$ non è differenziabile nei punti di tale retta; lo è nel resto del piano, come è facile vedere.
PS: per quanto semplice, trovo molto interessante questo esercizio è la prima volta che mi capita tra le mani una situazione del genere!
Notte!
Giuseppe
per quanto riguarda la derivabilità, trovo esatte le considerazioni di Gio:(...) esistano e siano continue le derivate prime parziali, e questo secondo me non è vero perchè la mia funzione la ottengo unendo due semipiani che hanno inclinazioni differenti...
E infatti (calcoliamo la derivata parziale rispetto ad $x$):
\[\lim_{t\to 0^+} \dfrac{f(-3y+t, y)-f(-3y,y)}{t}=\lim_{t\to 0^+}\dfrac{(-3y+t+3y)-0}{t}=1\neq \lim_{t\to 0^-}\dfrac{f(-3y+t, y)-f(-3y,y)}{t}=0\]
per cui $\nexists \partial_x f(-3y,y)$ (lo stesso vale per la derivata rispetto a $y$). Se non è chiaro il risultato del limite per $t$ che va rispettivamente a $0^+$ e a $0^-$, un disegnino chiarisce tutto
Segue che, non essendo $f$ derivabile in alcun punto della retta $x+3y=0$, ovviamente, $f$ non è differenziabile nei punti di tale retta; lo è nel resto del piano, come è facile vedere.
PS: per quanto semplice, trovo molto interessante questo esercizio
è la prima volta che mi capita tra le mani una situazione del genere!Notte!
Giuseppe
Grazie mille ad entrambi, risposta davvero chiara ed esaustiva!
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