Studio continuità e derivabilità con parametro
Ciao a tutti,
devo verificare la continuità e la derivabilità di questa funzione definita a tratti:
$f(x)={(cos(x + b)+c if x<=0),(2(cos(x^a) -1 if x>0):}$
Il punto critico è $x=0$.
Ho calcolato:
$f(0)= cos(b)+c$
Poi ho svolto il limite sinistro e ho provato a svolgere il destro al variare di $a$, cioè considerando $a<0, a>0, a=0$.
Non capisco come fare il limite per $a=0$: mi ritrovo sempre l'indecisione $0^0$, sia che usi il limite notevole del coseno sia che faccia $e^log(cos(x^a) -1)$. In pratica non so come eliminare l'indecisione che mi provoca il sostituire 0 ad $a$.
La stessa situazione la ritrovo nel fare la verifica della derivabilità.
Avete suggerimenti?
Grazie!
devo verificare la continuità e la derivabilità di questa funzione definita a tratti:
$f(x)={(cos(x + b)+c if x<=0),(2(cos(x^a) -1 if x>0):}$
Il punto critico è $x=0$.
Ho calcolato:
$f(0)= cos(b)+c$
Poi ho svolto il limite sinistro e ho provato a svolgere il destro al variare di $a$, cioè considerando $a<0, a>0, a=0$.
Non capisco come fare il limite per $a=0$: mi ritrovo sempre l'indecisione $0^0$, sia che usi il limite notevole del coseno sia che faccia $e^log(cos(x^a) -1)$. In pratica non so come eliminare l'indecisione che mi provoca il sostituire 0 ad $a$.
La stessa situazione la ritrovo nel fare la verifica della derivabilità.
Avete suggerimenti?
Grazie!
Risposte
Direi che è: $" "x^0=1" "forall x>0" "$, quindi: $lim_(x to 0^+) [2 cos(x^0)-1]=2 cos(1)-1" "$.
Ciao ravanello,
Riscrivo la funzione, che è scritta male, solo per essere sicuro di aver interpretato correttamente.
$f(x) := {(cos(x + b) + c \text{ se } x \le 0),(2[cos(x^a) -1] \text{ se } x > 0):} $
Correggimi se sbaglio, ma di solito in questo tipo di esercizi ti viene richiesto per quali valori dei parametri $a$, $b$ e $c$ la funzione proposta è continua e derivabile nel punto $x_0 = 0 $
Innanzitutto osserverei che $lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = cos(b) + c $, per cui la funzione proposta è continua a sinistra di $ x_0=0$. Perché sia continua anche a destra di $x_0=0 $ devi imporre che il $lim_{x \to 0^+} f(x) = lim_{x \to 0^-} f(x) = cos(b) + c $.
Ora prova a procedere con la derivabilità...
Esercizi simili ce ne sono parecchi anche qui sul forum, ad esempio qui, qui e qui.
Riscrivo la funzione, che è scritta male, solo per essere sicuro di aver interpretato correttamente.
$f(x) := {(cos(x + b) + c \text{ se } x \le 0),(2[cos(x^a) -1] \text{ se } x > 0):} $
Correggimi se sbaglio, ma di solito in questo tipo di esercizi ti viene richiesto per quali valori dei parametri $a$, $b$ e $c$ la funzione proposta è continua e derivabile nel punto $x_0 = 0 $
Innanzitutto osserverei che $lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = cos(b) + c $, per cui la funzione proposta è continua a sinistra di $ x_0=0$. Perché sia continua anche a destra di $x_0=0 $ devi imporre che il $lim_{x \to 0^+} f(x) = lim_{x \to 0^-} f(x) = cos(b) + c $.
Ora prova a procedere con la derivabilità...
Esercizi simili ce ne sono parecchi anche qui sul forum, ad esempio qui, qui e qui.
Ciao Palliit e ravanello,
La premessa del ragionamento di Palliit è corretta, la conclusione invece non lo so: infatti, complice proprio il fatto che la funzione iniziale è scritta male, la parentesi aperta dopo il $2$ non si chiude da alcuna parte e potrebbe non esistere, chiudersi dopo il coseno o dopo il $- 1$, e questo ravanello lo sai solo tu (anch'io ho dato un'interpretazione, ma potrebbe essere errata anche la mia...) per cui occorrerebbe una tua risposta...
Segnalo altresì che può essere anche $a > 0 $, mentre escluderei il caso $a < 0 $ perché in tal caso i limiti non esistono e quindi di certo la funzione non può essere continua...
La premessa del ragionamento di Palliit è corretta, la conclusione invece non lo so: infatti, complice proprio il fatto che la funzione iniziale è scritta male, la parentesi aperta dopo il $2$ non si chiude da alcuna parte e potrebbe non esistere, chiudersi dopo il coseno o dopo il $- 1$, e questo ravanello lo sai solo tu (anch'io ho dato un'interpretazione, ma potrebbe essere errata anche la mia...) per cui occorrerebbe una tua risposta...
Segnalo altresì che può essere anche $a > 0 $, mentre escluderei il caso $a < 0 $ perché in tal caso i limiti non esistono e quindi di certo la funzione non può essere continua...
Ciao e grazie a tutti delle risposte.
Scusate, ho scritto male la funzione.
La funzione corretta è quella scritta da pilloeffe, quindi $2(cos(x^a) -1)$ se $x>0$.
Il mio dubbio riguardava la condizione in cui $a=0$.
Se quello che ha suggerito Palliit è corretto, allora in realtà non ho un caso di indecisione del tipo $0^0$ ma ho semplicemente un $x$ reale elevato a 0 che per $x>0$ da sempre 1: cioè, come dire, anche se $x$ tende a 0 non è da considerarsi come un indecisione.
Ho capito giusto?
Scusate, ho scritto male la funzione.
La funzione corretta è quella scritta da pilloeffe, quindi $2(cos(x^a) -1)$ se $x>0$.
Il mio dubbio riguardava la condizione in cui $a=0$.
Se quello che ha suggerito Palliit è corretto, allora in realtà non ho un caso di indecisione del tipo $0^0$ ma ho semplicemente un $x$ reale elevato a 0 che per $x>0$ da sempre 1: cioè, come dire, anche se $x$ tende a 0 non è da considerarsi come un indecisione.
Ho capito giusto?
Occhio che
se $a = 0 $ si ha $lim_{x \to 0^+} 2[cos(x^a) -1] = 2[cos(1) - 1] \implies 2[cos(1) - 1] = cos(b) + c $;
se $a > 0 $ si ha $lim_{x \to 0^+} 2[cos(x^a) -1] = 0 \implies 0 = cos(b) + c \implies c = - cos(b)$
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