Studio continuità e derivabilità
Ciao, sto riprendendo analisi in mano dopo tanti anni e mi trovo in difficoltà con alcune cose.
Ad esempio un problema come il seguente come andrebbe affrontato?
Siano dati due parametri α, β ∈ [0,+∞) e la funzione definita ponendo F(X) =
$\sqrt(4x^2 + 4x + β)$ se x ≥ 0
$e^(sin(2x)+α) $ se x < 0.
Si stabilisca per quali valori di α e β la funzione risulta essere continua e derivabile in R.
Idee? Suggerimenti? Non cerco per forza la soluzione pronta, ma giusto capire come dovrei operare.
Grazie mille
Ad esempio un problema come il seguente come andrebbe affrontato?
Siano dati due parametri α, β ∈ [0,+∞) e la funzione definita ponendo F(X) =
$\sqrt(4x^2 + 4x + β)$ se x ≥ 0
$e^(sin(2x)+α) $ se x < 0.
Si stabilisca per quali valori di α e β la funzione risulta essere continua e derivabile in R.
Idee? Suggerimenti? Non cerco per forza la soluzione pronta, ma giusto capire come dovrei operare.
Grazie mille
Risposte
Fai i limiti per le due funzioni verso zero, se esistono finiti e coincidono è continua, idem per le derivate.
Ovviamente DEVI farli coincidere determinando quali siano gli $alpha, beta$ che portano a ciò.
Ovviamente DEVI farli coincidere determinando quali siano gli $alpha, beta$ che portano a ciò.
Ciao!
Ricordiamo una delle tante definizioni di funzione continua:
Sia $f: A \to \mathbb(R)$ una funzione con $A\subset \mathbb(R)$ e sia $x_0\in A$.
Diciamo che $f$ è continua in $x_0$ se $\lim_(x\to x_0) f(x)= f(x_0)$.
In particolare, si deve avere che:
$\lim_(x\to x_0^+) f(x)= \lim_(x\to x_0^-) f(x) $
Ovvero i limiti da destra e da sinistra devono coincidere.
Dunque, per rispondere alla tua domanda, per la continuità basta imporre l'uguaglianza dei limiti da destra e sinistra per $x\to 0$, in quanto $x_0=0$ è "il punto di stacco" della tua funzione, cioè quello in cui l'espressione che definisce la tua funzione cambia.
Infatti, se prendiamo -ad esempio- solo gli $x<0$, abbiamo che $f(x)= e^(\sin(2x)+\alpha)$ che non ha problemi di continuità per nessun $x$ e per nessun valore di $\alpha$.
Stai attento al fatto che, per $x\ge 0$, la tua radice deve esistere (dunque hai un dominio da studiare).
Per quanto riguarda la derivabilità, il discorso non cambia: una funzione $f$ è derivabile in un punto $x_0$ se:
$\lim_(h\to 0^+) \frac(f(x_0+h)-f(x_0))(h)=\lim_(h\to 0^-) \frac(f(x_0+h)-f(x_0))(h) =f'(x_0)$
Dunque per vedere se la tua $f$ è derivabile, basta calcolare separatamente le derivate nei casi $x<0$ e $x\ge 0$ e poi imporre l'uguaglianza facendo il limite delle derivate per $x\to 0^+$ e $x\to 0^-$.
Oppure puoi ragionare direttamente con i limiti dei rapporti incrementali.
Ricorda inoltre che derivabile => continua, ma NON vale il viceversa (la funzione $f(x)=\sqrt(x)$ è continua in $x=0$, ma non è ivi derivabile, ad esempio).
Ricordiamo una delle tante definizioni di funzione continua:
Sia $f: A \to \mathbb(R)$ una funzione con $A\subset \mathbb(R)$ e sia $x_0\in A$.
Diciamo che $f$ è continua in $x_0$ se $\lim_(x\to x_0) f(x)= f(x_0)$.
In particolare, si deve avere che:
$\lim_(x\to x_0^+) f(x)= \lim_(x\to x_0^-) f(x) $
Ovvero i limiti da destra e da sinistra devono coincidere.
Dunque, per rispondere alla tua domanda, per la continuità basta imporre l'uguaglianza dei limiti da destra e sinistra per $x\to 0$, in quanto $x_0=0$ è "il punto di stacco" della tua funzione, cioè quello in cui l'espressione che definisce la tua funzione cambia.
Infatti, se prendiamo -ad esempio- solo gli $x<0$, abbiamo che $f(x)= e^(\sin(2x)+\alpha)$ che non ha problemi di continuità per nessun $x$ e per nessun valore di $\alpha$.
Stai attento al fatto che, per $x\ge 0$, la tua radice deve esistere (dunque hai un dominio da studiare).
Per quanto riguarda la derivabilità, il discorso non cambia: una funzione $f$ è derivabile in un punto $x_0$ se:
$\lim_(h\to 0^+) \frac(f(x_0+h)-f(x_0))(h)=\lim_(h\to 0^-) \frac(f(x_0+h)-f(x_0))(h) =f'(x_0)$
Dunque per vedere se la tua $f$ è derivabile, basta calcolare separatamente le derivate nei casi $x<0$ e $x\ge 0$ e poi imporre l'uguaglianza facendo il limite delle derivate per $x\to 0^+$ e $x\to 0^-$.
Oppure puoi ragionare direttamente con i limiti dei rapporti incrementali.
Ricorda inoltre che derivabile => continua, ma NON vale il viceversa (la funzione $f(x)=\sqrt(x)$ è continua in $x=0$, ma non è ivi derivabile, ad esempio).
Grazie mille per la risposta.
Dubbio: visto che la derivabilità implica la continuità, perché devo fare anche lo studio di continuità?
Mi basterebbe chiedere l'uguaglianza dei limiti destro e sinistro per la derivata, senza controllarlo per la funzione di partenza. In teoria...no?
(So che devo farlo perché se no ottengo risultati diversi, ma diciamo che mi piacerebbe avere una risposta più formale)
Dubbio: visto che la derivabilità implica la continuità, perché devo fare anche lo studio di continuità?
Mi basterebbe chiedere l'uguaglianza dei limiti destro e sinistro per la derivata, senza controllarlo per la funzione di partenza. In teoria...no?
(So che devo farlo perché se no ottengo risultati diversi, ma diciamo che mi piacerebbe avere una risposta più formale)
"Carrido":
Grazie mille per la risposta.
Dubbio: visto che la derivabilità implica la continuità, perché devo fare anche lo studio di continuità?
Mi basterebbe chiedere l'uguaglianza dei limiti destro e sinistro per la derivata, senza controllarlo per la funzione di partenza. In teoria...no?
(So che devo farlo perché se no ottengo risultati diversi, ma diciamo che mi piacerebbe avere una risposta più formale)
Perché ci possono essere dei valori dei parametri $\alpha$ e $\beta$ per i quali la funzione è continua ma NON derivabile.
Per fare un esempio, la tua funzione viene continua per ogni $\alpha,\beta\ge 0$ tali che $\beta=e^(2\alpha)$, ma è derivabile solo per $\alpha=0$ e $\beta=1$ (controlla i conti pls)
Sì, sì, mi sono espresso male forse.
Intendevo dire che non capisco perché non si possa studiare solo la derivabilità e non la continuità.
Tanto se è derivabile è anche continua.
Intendevo dire che non capisco perché non si possa studiare solo la derivabilità e non la continuità.
Tanto se è derivabile è anche continua.
Se è derivabile è continua, ma se non è derivabile non hai alcuna implicazione sulla continuità. Dove non è derivabile potrebbe essere continua come potrebbe non esserlo. Quindi, comunque, per quei valori dei parametri per cui non è derivabile devi studiarne la continuità. Al massimo, puoi ridurre i casi da studiare: studi la derivabilità e, dove è derivabile, certamente è anche continua e perciò, per verificare la continuità, studi solamente i casi che non sono coperti dalla derivabilità.
Esempio: la funzione $|x|$ è derivabile dappertutto tranne in $x_0=0$, ma è continua in $x_0=0$. Quindi, se non si studia a parte la continuità in $x_0=0$, dalla derivabilità si deducono informazioni sulla continuità solo per $x_0 \ne 0$.
Esempio: la funzione $|x|$ è derivabile dappertutto tranne in $x_0=0$, ma è continua in $x_0=0$. Quindi, se non si studia a parte la continuità in $x_0=0$, dalla derivabilità si deducono informazioni sulla continuità solo per $x_0 \ne 0$.
"Carrido":
Sì, sì, mi sono espresso male forse.
Intendevo dire che non capisco perché non si possa studiare solo la derivabilità e non la continuità.
Tanto se è derivabile è anche continua.
Perché altrimenti perdi informazioni e non rispondi completamente alla domanda "quando la funzione è continua". Continuità e derivabilità sono due concetti interconnessi, ma distinti.
A livello storico, per secoli si è creduto che le funzioni continue fossero esattamente quelle derivabili, e si è dovuta aspettare il 1872. quando Weiestrass fornì un esempio di funzione continua ma non derivabile in nessun punto: un controesempio che mostra come continua non implichi derivabile
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