Studio concavità funzione
Buongiorno a tutti,
ho un dubbio su uno studio di funzione.
Se qualcuno ha tempo e voglia di aiutarmi gli e ne sarei grato.
Devo studiare la funzione seguente:
Ho trovato comportamento asintotico e calcolato i limiti.
Dalla derivata prima mi risulta che la funzione è decrescente su tutto il dominio, e fin qui tutto quadra perfettamente.
Ora però noto che la funzione (in un punto approssimativo del grafico) cambia concavità, e vorrei calcolare il punto esatto di flesso.
Ho trovato la derivata seconda ma porla = 0 e studiare dove si annulla non è per niente semplice ( ho un' equazione di terzo grado). Quindi secondo voi cosa dovrei fare? Utilizzare gli sviluppi per studiare il segno non posso perchè la derivata prima è \( \neq \) 0 per ogni x quindi non posso scrivere nessuno sviluppo visto che non ho la derivata prima = 0 (e comunque non conosco il punto in cui devo valutare le derivate).
Altrimenti secondo voi cosa dovrei fare? Un altro studio di funzione sulla derivata seconda?
Ringrazio già da ora chi riuscirà a rispondermi.
ho un dubbio su uno studio di funzione.
Se qualcuno ha tempo e voglia di aiutarmi gli e ne sarei grato.
Devo studiare la funzione seguente:
\( f(x) = \frac{2x+3}{x^2+x-2} \)
Ho trovato comportamento asintotico e calcolato i limiti.
Dalla derivata prima mi risulta che la funzione è decrescente su tutto il dominio, e fin qui tutto quadra perfettamente.
Ora però noto che la funzione (in un punto approssimativo del grafico) cambia concavità, e vorrei calcolare il punto esatto di flesso.
Ho trovato la derivata seconda ma porla = 0 e studiare dove si annulla non è per niente semplice ( ho un' equazione di terzo grado). Quindi secondo voi cosa dovrei fare? Utilizzare gli sviluppi per studiare il segno non posso perchè la derivata prima è \( \neq \) 0 per ogni x quindi non posso scrivere nessuno sviluppo visto che non ho la derivata prima = 0 (e comunque non conosco il punto in cui devo valutare le derivate).
Altrimenti secondo voi cosa dovrei fare? Un altro studio di funzione sulla derivata seconda?
Ringrazio già da ora chi riuscirà a rispondermi.
Risposte
Non ho controllato tutto quanto, ho solamente calcolato la derivata seconda che risulta $f''(x)=(2 (13 + 21 x + 9 x^2 + 2 x^3))/(-2 + x + x^2)^3$. Visto che è un'equazione di terzo grado esisterebbero le formule risolutive di Cardano, che però sono difficii da ricordare e di solito non vengono usate.
Il mio consiglio è quello di notare che tale radice (parlo dello zero della derivata seconda) è unica e calcolarla mediante, per esempio, il metodo di bisezione. Cioè, grazie al teorema degli zeri (la funzione è continua in $I:=[-1,0]$), trovi che lo zero sta in $I$, e poi cominci con l'algoritmo. Troverai una soluzione approssimata dello zero, diciamo $alpha$, e quello sarà il punto in cui cambia la tua concavità.
Il mio consiglio è quello di notare che tale radice (parlo dello zero della derivata seconda) è unica e calcolarla mediante, per esempio, il metodo di bisezione. Cioè, grazie al teorema degli zeri (la funzione è continua in $I:=[-1,0]$), trovi che lo zero sta in $I$, e poi cominci con l'algoritmo. Troverai una soluzione approssimata dello zero, diciamo $alpha$, e quello sarà il punto in cui cambia la tua concavità.
Vediamo se ho capito:
Tu praticamente hai fatto uno studio a parte sulla derivata seconda, hai trovato dominio, ecc hai valutato quante potevano essere le radici e poi hai applicato il metodo di bisezione per trovare lo 0.
Grazie mille in ogni caso!!
Tu praticamente hai fatto uno studio a parte sulla derivata seconda, hai trovato dominio, ecc hai valutato quante potevano essere le radici e poi hai applicato il metodo di bisezione per trovare lo 0.
Grazie mille in ogni caso!!
Feddy ma si annulla proprio in $x=-1$ 
ciao anto 
Scusa ma mi sembra la derivata seconda in $x=-1$ non si annulla ( a meno che oggi non sia proprio rincog*******o ahah).
@fausto
Si diciamo di sì. In generale, guardando limiti e monotonia per la $f$ non è necessario fare uno studio dettagliato, ma se proprio si vuole trovare il punto con una certa precisione, allora è così che si fa.
Scusa ma mi sembra la derivata seconda in $x=-1$ non si annulla ( a meno che oggi non sia proprio rincog*******o ahah).
@fausto
Si diciamo di sì. In generale, guardando limiti e monotonia per la $f$ non è necessario fare uno studio dettagliato, ma se proprio si vuole trovare il punto con una certa precisione, allora è così che si fa.
Niente nella mia testa il $2$ accanto a $x^3$ non c’era. Sono rincoglionito io!
Devo imparare a farmi i ca**i miei
Devo imparare a farmi i ca**i miei
Nessun problema, figurati !
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