Studio concavità; derivata seconda enorme:
Salve ho la seguente funzione:
$y= e^(-1/(1-x^2) )$
la derivata prima è $ y'= (-2x * e^(-1/(1-x^2) ))/( 1-x^2)^2$ ;
ora per studiare la derivata seconda erroneamente ho perso un pò di tempo su questa funzione e mi veniva una cosa abnorme;
poi ho scoperto che in questo caso bisogna usare direttamente la formula della derivata seconda di $ e^f(x)$ ; il problema è che forse ce l'ho scritta mele ;
la formula che ho è : $ y'' ( e ^f(x) ) = f''(x)* e^f(x)+ [f'(x)]^2 * e^f(x) $ ma penso che ci sia un $e^f(x)$ di troppo ;
così mi viene:
$ [(2(3x^2+1))/((x^2-1)^3) * e^(-1/(1-x^2)]+ [-2x/(x^2-1)^2]^2 * e^(-1/(1-x^2)]];$ mentre controllando anche tramite il software risulta $[(2(3x^2+1))/((x^2-1)^3) * e^(-1/(1-x^2)]+ [-2x/(x^2-1)^2]^2]$
qual'è la formula giusta??
e poi come studio $f^{\prime}'(x) >0 $ ?? .....
mi risulta nel caso della mia derivata impossibile per $f^{\prime}'(x)>0 $ e $f^{\prime}'(x)<0$
mentre per $f^{\prime}'(x)<0$ dovrebbe risultare $ ]-1, 1 )$
grazie per i chiarimenti!
cordiali saluti.
$y= e^(-1/(1-x^2) )$
la derivata prima è $ y'= (-2x * e^(-1/(1-x^2) ))/( 1-x^2)^2$ ;
ora per studiare la derivata seconda erroneamente ho perso un pò di tempo su questa funzione e mi veniva una cosa abnorme;
poi ho scoperto che in questo caso bisogna usare direttamente la formula della derivata seconda di $ e^f(x)$ ; il problema è che forse ce l'ho scritta mele ;
la formula che ho è : $ y'' ( e ^f(x) ) = f''(x)* e^f(x)+ [f'(x)]^2 * e^f(x) $ ma penso che ci sia un $e^f(x)$ di troppo ;
così mi viene:
$ [(2(3x^2+1))/((x^2-1)^3) * e^(-1/(1-x^2)]+ [-2x/(x^2-1)^2]^2 * e^(-1/(1-x^2)]];$ mentre controllando anche tramite il software risulta $[(2(3x^2+1))/((x^2-1)^3) * e^(-1/(1-x^2)]+ [-2x/(x^2-1)^2]^2]$
qual'è la formula giusta??
e poi come studio $f^{\prime}'(x) >0 $ ?? .....
mi risulta nel caso della mia derivata impossibile per $f^{\prime}'(x)>0 $ e $f^{\prime}'(x)<0$
mentre per $f^{\prime}'(x)<0$ dovrebbe risultare $ ]-1, 1 )$
grazie per i chiarimenti!
cordiali saluti.
Risposte
Una cosa alla volta.
Se stai facendo lo studio di funzione alcune volte non è utile fare la derivata seconda, a causa dei troppi calcoli, perchè la concavità e convessità si capiscono ad occhio (orientativamente), quindi se non sei obbligato a farla non la fare e cerca di ricavare informazioni tipo dai limiti e dalla derivata prima.
Poi per studiare $f'(x)>0$:
io mi trovo come derivata della funzione iniziale $e^(1/(1-x^2))[-(2x)/(1-x^2)^2]$. Bene, ponendo questa quantità maggiore di zero, per le proprietà della funzione esponenziale posso dire che $e^(1/(1-x^2))>0 AAx in D$ (con D si intende dominio della funzione), quindi ti resta da studiare $-(2x)/(1-x^2)^2>0$ che è una semplice disequazione fratta.
Se stai facendo lo studio di funzione alcune volte non è utile fare la derivata seconda, a causa dei troppi calcoli, perchè la concavità e convessità si capiscono ad occhio (orientativamente), quindi se non sei obbligato a farla non la fare e cerca di ricavare informazioni tipo dai limiti e dalla derivata prima.
Poi per studiare $f'(x)>0$:
io mi trovo come derivata della funzione iniziale $e^(1/(1-x^2))[-(2x)/(1-x^2)^2]$. Bene, ponendo questa quantità maggiore di zero, per le proprietà della funzione esponenziale posso dire che $e^(1/(1-x^2))>0 AAx in D$ (con D si intende dominio della funzione), quindi ti resta da studiare $-(2x)/(1-x^2)^2>0$ che è una semplice disequazione fratta.
"Lorin":
Una cosa alla volta.
Se stai facendo lo studio di funzione alcune volte non è utile fare la derivata seconda, a causa dei troppi calcoli, perchè la concavità e convessità si capiscono ad occhio (orientativamente), quindi se non sei obbligato a farla non la fare e cerca di ricavare informazioni tipo dai limiti e dalla derivata prima.
Poi per studiare $f'(x)>0$:
io mi trovo come derivata della funzione iniziale $e^(1/(1-x^2))[-(2x)/(1-x^2)^2]$. Bene, ponendo questa quantità maggiore di zero, per le proprietà della funzione esponenziale posso dire che $e^(1/(1-x^2))>0 AAx in D$ (con D si intende dominio della funzione), quindi ti resta da studiare $-(2x)/(1-x^2)^2>0$ che è una semplice disequazione fratta.
edit: ho modificato la funzione era scritta male!
comunque si; si vede subito che in $x=0$ vi è un punto di massimo relativo....
Graficamente è più logico pensare ad una concavità verso il basso in tutto il campo di esistenza.
però non ti seguo... nel senso; la concavità può essere rivolta verso il basso da $ ]-1,0) $ e rivolta verso l'alto da $ ]0,1)$
cioè non è detto che in tutto il campo di esistenza sia a concavità verso il basso come lo è la funzione!
ecco se parli di intuito "grafico" ok, perchè crescenza e decrescenza te lo fanno capire:
ma analiticamente non so come potevo saper che sia tutta con la concavità verso il basso!
PS: per quanto riguarda la principale richiesta? ovvero derivata seconda ?
è giusta la formula con due moltiplicazioni con $ e^f(x)$ ?
La tua formula per la derivata seconda di $e^f(x)$ e' a posto: sfruttandola, la derivata seconda dovrebbe venire:
$e^(-1/(1 - x^2)) * (6x^4 + 2)/ (1 - x^2)^4$
che, se non ho sbagliato i calcoli, e' facilissima da valutare: e' sempre positiva. Giusto?
$e^(-1/(1 - x^2)) * (6x^4 + 2)/ (1 - x^2)^4$
che, se non ho sbagliato i calcoli, e' facilissima da valutare: e' sempre positiva. Giusto?
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