Studio completo di funzione
Potreste gentilmente aiutarmi con lo studio di questa funzione: f(x)= Xe^(-1/|x|) procedendo passo per passo.
Grazie mille.
Grazie mille.
Risposte
Ciao
difficilmente troverai qualcuno che ti faccia l'esercizio passo passo
Non perché è vietato dal regolamento (controlla nel box rosa in alto), ma perché non ti sarà per nulla utile
mostra invece tu i tuoi tentativi e le tue idee, poi ti si vien dietro
difficilmente troverai qualcuno che ti faccia l'esercizio passo passo
Non perché è vietato dal regolamento (controlla nel box rosa in alto), ma perché non ti sarà per nulla utile
mostra invece tu i tuoi tentativi e le tue idee, poi ti si vien dietro
Va bene, grazie per la dritta.
1) innanzitutto ho considerato f(x)= Xe^(-1/x) giusto per togliere quel fastidioso valore assoluto
2)dominio= R -{0}
3)ho verificato se la funzione è pari o dispari e risulta f(-x)= -f(x) quindi dispari pertanto grafico simmetrico rispetto all’origine.
4) ho calcolato il limite Di f(x) nell’intorno Di X0 per verificare la presenza di asintoti verticali, in particolare risulta che nell’intorno sinistro il limite di f(x) = - infinito
Mentre nell’intorno destro il limite di f(x) =0.... il primo risultato fa pensare alla presenza di un asintoto verticale in X=0
5) poi ho calcolato lim f(x) per X che tende a +/- infinito ottenendo rispettivamente come risultato + e - infinito quindi nessun asintoto orizzontale
6) lim f(x)/x = m= 1 per x che tende a infinito poi lim [f(x) -mx] per x che tende a infinito = -1
Quindi y= x-1 è asintoto obliquo
7) derivata prima: y’= e^(-1/x) [1-1/x]
8) calcolo y’=0 risulta per x=1
9) y’>0 risulta per x>1 e x<0 quindi f(x) è crescente nell’intervallo (-inf,0) e (1, +inf) mentre è decrescente (0,1)
Risulta x=0 un massimo relativo e x=1 un minimo relativo
10) y’’= -e^(-1/x) [1/x^2 +1] e risulta y”>0 mai quindi la concavità è sempre rivolta verso il basso
1) innanzitutto ho considerato f(x)= Xe^(-1/x) giusto per togliere quel fastidioso valore assoluto
2)dominio= R -{0}
3)ho verificato se la funzione è pari o dispari e risulta f(-x)= -f(x) quindi dispari pertanto grafico simmetrico rispetto all’origine.
4) ho calcolato il limite Di f(x) nell’intorno Di X0 per verificare la presenza di asintoti verticali, in particolare risulta che nell’intorno sinistro il limite di f(x) = - infinito
Mentre nell’intorno destro il limite di f(x) =0.... il primo risultato fa pensare alla presenza di un asintoto verticale in X=0
5) poi ho calcolato lim f(x) per X che tende a +/- infinito ottenendo rispettivamente come risultato + e - infinito quindi nessun asintoto orizzontale
6) lim f(x)/x = m= 1 per x che tende a infinito poi lim [f(x) -mx] per x che tende a infinito = -1
Quindi y= x-1 è asintoto obliquo
7) derivata prima: y’= e^(-1/x) [1-1/x]
8) calcolo y’=0 risulta per x=1
9) y’>0 risulta per x>1 e x<0 quindi f(x) è crescente nell’intervallo (-inf,0) e (1, +inf) mentre è decrescente (0,1)
Risulta x=0 un massimo relativo e x=1 un minimo relativo
10) y’’= -e^(-1/x) [1/x^2 +1] e risulta y”>0 mai quindi la concavità è sempre rivolta verso il basso
"Vadim94":
... giusto per togliere quel fastidioso valore assoluto ...
Non puoi liberartene così facilmente. Tuttavia, poiché la funzione è dispari, puoi limitarti a studiarla per $[x gt 0]$:
$[f(x)=xe^(-1/x)] rarr [(df)/(dx)(x)=(x+1)/xe^(-1/x)]$
Proprio per questo motivo, il calcolo del seguente limite:
$lim_(x->0^-)xe^(-1/x)$
non ha alcun senso.
Molto bene
ora provo a ragionare con te
non ti fidare però, faccio tanti errori di calcolo, devi controllare bene
proviamo a restringerci a $f(x)=xe^(-1/x)$ quando $x>0$
possiamo dire che qui la funzione è sempre positiva?
Poi guardando la derivata prima mi dici che il limite per $x->0^+$ è $0$ e da lì in poi la funzione decresce fino a $1$, per poi ricominciare a crescere, così però vorrebbe dire che la nostra funzione da 0 a un po' dopo $1$ è negativa, giusto?
A me non torna la tua derivata prima, magari mi sbaglio, ma a me viene
$y'=e^(1/x)(1+1/x)$ che è sempre positiva per $x>0$
PS se metti il sibolo del dollaro $ prima e dopo le formule le stesse si leggeranno meglio
ora provo a ragionare con te
non ti fidare però, faccio tanti errori di calcolo, devi controllare bene
proviamo a restringerci a $f(x)=xe^(-1/x)$ quando $x>0$
possiamo dire che qui la funzione è sempre positiva?
Poi guardando la derivata prima mi dici che il limite per $x->0^+$ è $0$ e da lì in poi la funzione decresce fino a $1$, per poi ricominciare a crescere, così però vorrebbe dire che la nostra funzione da 0 a un po' dopo $1$ è negativa, giusto?
A me non torna la tua derivata prima, magari mi sbaglio, ma a me viene
$y'=e^(1/x)(1+1/x)$ che è sempre positiva per $x>0$
PS se metti il sibolo del dollaro $ prima e dopo le formule le stesse si leggeranno meglio
Ciao Sergente, che bello che ci sei anche tu
1) abbiamo detto che f(x) =Xe^(-1/x) se x>0 ....essendo x>0 la funzione è sempre positiva
2) come giustamente hai detto y’= [1*e^(-1/x)]+[X*e^(-1/x)*(1/x^2)]= e^(-1/x)* (1+1/x)
3) y’>0 è sempre positiva essendo x>0
4) osservando la derivata mi accorgo che questa perde senso per X=0 e si annulla in x=-1
5) provando con la tabella dei segni ho: e^(-1/x) > 0 sempre e (1+1/x)>0 per x<-1 e x>0 mentre risulta negativo nell’intervallo (-1,0)
6) studiando l’intorno Di questi 2 punti risulta che: limite di y’ per x—>1 è 0
Precedentemente abbiamo visto che x=0 è un asintoto verticale quindi il mio grafico da -1 a 0 continuerà a “scendere” avvicinandosi sempre più a 0 senza mai incontrarlo
Il limite di f(x) per x—>0+ invece risulta uguale a 0 è poi per un valore di x>0 la funzione è crescente
Quindi si può dedurre che in x=0 vi è una discontinuità di seconda specie
7) y”= [e^(-1/x)]/X^3 la derivata seconda mi viene così questa perde senso per x=0 è positiva per x>0 ed è negativa per x<0
questo significa che da -infinito a -1 la concavità è rivolta verso il basso, lo è anche da -1 a 0, invece da 0 a +infinito la concavità è rivolta verso l’alto
Ho provato ha inserire il segno del dollaro affinché le formule si potessero leggere meglio, il problema è che metteva tutto insieme sia quello che era diviso dallo spazio che dalle righe. Grazie per la pazienza !
2) come giustamente hai detto y’= [1*e^(-1/x)]+[X*e^(-1/x)*(1/x^2)]= e^(-1/x)* (1+1/x)
3) y’>0 è sempre positiva essendo x>0
4) osservando la derivata mi accorgo che questa perde senso per X=0 e si annulla in x=-1
5) provando con la tabella dei segni ho: e^(-1/x) > 0 sempre e (1+1/x)>0 per x<-1 e x>0 mentre risulta negativo nell’intervallo (-1,0)
6) studiando l’intorno Di questi 2 punti risulta che: limite di y’ per x—>1 è 0
Precedentemente abbiamo visto che x=0 è un asintoto verticale quindi il mio grafico da -1 a 0 continuerà a “scendere” avvicinandosi sempre più a 0 senza mai incontrarlo
Il limite di f(x) per x—>0+ invece risulta uguale a 0 è poi per un valore di x>0 la funzione è crescente
Quindi si può dedurre che in x=0 vi è una discontinuità di seconda specie
7) y”= [e^(-1/x)]/X^3 la derivata seconda mi viene così questa perde senso per x=0 è positiva per x>0 ed è negativa per x<0
questo significa che da -infinito a -1 la concavità è rivolta verso il basso, lo è anche da -1 a 0, invece da 0 a +infinito la concavità è rivolta verso l’alto
Ho provato ha inserire il segno del dollaro affinché le formule si potessero leggere meglio, il problema è che metteva tutto insieme sia quello che era diviso dallo spazio che dalle righe. Grazie per la pazienza !
Ciao gio73. Ogni tanto ci si incrocia. 
sono felice che ci sei così potrai correggermi
a vadim
proviamo di nuovo a ragionare
la funzione è $f(x)=xe^(-1/|x|)$
osservazione 1: è dispari, quindi simmetrica rispetto all'origine. I agree
osservazione 2: x può essere un qualsiasi numero reale tranne 0, cioè il campo di esistenza è $RR-{0}$. I agree
osservazione 3: facendo i limiti per x che tende a 0 da destra e da sinistra, ottengo due risultati diversi, da destra 0, da sinistra $-oo$. C'è qualcosa che non va. I disagree.
o almeno così ho interpretato le tue parole
Per le formule consulta le spiegazioni nel box rosa in alto, vedrai che riuscirai a usare correttamente il segno del dollaro.
a vadim
proviamo di nuovo a ragionare
la funzione è $f(x)=xe^(-1/|x|)$
osservazione 1: è dispari, quindi simmetrica rispetto all'origine. I agree
osservazione 2: x può essere un qualsiasi numero reale tranne 0, cioè il campo di esistenza è $RR-{0}$. I agree
osservazione 3: facendo i limiti per x che tende a 0 da destra e da sinistra, ottengo due risultati diversi, da destra 0, da sinistra $-oo$. C'è qualcosa che non va. I disagree.
o almeno così ho interpretato le tue parole
"Vadim94":
Precedentemente abbiamo visto che x=0 è un asintoto verticale quindi il mio grafico da -1 a 0 continuerà a “scendere” avvicinandosi sempre più a 0 senza mai incontrarlo
Il limite di f(x) per x—>0+ invece risulta uguale a 0 è poi per un valore di x>0 la funzione è crescente
Per le formule consulta le spiegazioni nel box rosa in alto, vedrai che riuscirai a usare correttamente il segno del dollaro.
1) abbiamo detto che f(x)=xe^(-1/x) Se x>0 ...potrei sbagliare però forse : se x<0 f(x)=xe^(1/x)in questo caso il limite per x che tende a 0- F(x) tende a 0
2) considerando la derivata di quest’ultima y’= e^(1/x) [1-1/x] e studiando la tabella dei segni risulta che fino è positiva per x<0 e x>1 ed è negativa nell’intervallo da 0 a -1
3) abbiamo 2 casi presenti della funzione la prima per x>0 e la seconda per x<0 quindi dovremmo considerare ciascuna nel proprio intervallo...
4) la funzione è crescente da -infinito a 0 con concavità rivolta verso il basso ed è crescente da 0 a +infinito con concavità rivolta verso l’alto
2) considerando la derivata di quest’ultima y’= e^(1/x) [1-1/x] e studiando la tabella dei segni risulta che fino è positiva per x<0 e x>1 ed è negativa nell’intervallo da 0 a -1
3) abbiamo 2 casi presenti della funzione la prima per x>0 e la seconda per x<0 quindi dovremmo considerare ciascuna nel proprio intervallo...
4) la funzione è crescente da -infinito a 0 con concavità rivolta verso il basso ed è crescente da 0 a +infinito con concavità rivolta verso l’alto
@Vadim: metti le [formule][/formule] (clic per istruzioni) tra i simboli del dollaro \$ ... \$, per favore. Così come sono è difficile leggerle.
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