Studio carattere serie parametrica
Buonasera, ho studiato il carattere di una serie presa da un esame di Analisi Matematica. Volevo sapere se avevo svolto correttamente l'esercizio.
La serie è questa:
$ sum_(n = 2\ldots) (3 ^(1/n) -1)/(n^xlog(1+(1/n^4)) $
Questa è una serie a termini positivi.
Per x=0 ho utilizzato il confronto asintotico --> $ 1/n^4 $ che è la serie armonica generalizzata con $ alpha> 1 $ e quindi convergente;
Per x>0 sempre utilizzando il confronto asintotico ottengo $ 1/n^x $ e quindi per $ 01 $ converge;
Per x<0 utilizzando il confronto asintotico ottengo $ 1/n^x $ e quindi per $ -1<=x<0 $ diverge positivamente e per $ x<-1 $ converge.
Potete dirmi se è giusto? Se è sbagliato potete spiegarmi come studiare il carattere di questa serie? Vi ringrazio.
La serie è questa:
$ sum_(n = 2\ldots) (3 ^(1/n) -1)/(n^xlog(1+(1/n^4)) $
Questa è una serie a termini positivi.
Per x=0 ho utilizzato il confronto asintotico --> $ 1/n^4 $ che è la serie armonica generalizzata con $ alpha> 1 $ e quindi convergente;
Per x>0 sempre utilizzando il confronto asintotico ottengo $ 1/n^x $ e quindi per $ 0
Per x<0 utilizzando il confronto asintotico ottengo $ 1/n^x $ e quindi per $ -1<=x<0 $ diverge positivamente e per $ x<-1 $ converge.
Potete dirmi se è giusto? Se è sbagliato potete spiegarmi come studiare il carattere di questa serie? Vi ringrazio.
Risposte
$3^(1/n)-1~(1/n)*log 3$
$log (1+(1/n^4))~1/n^4$
$frac{1/n*log 3}{1/n^4*n^x}=n^{-1+4-x}*log 3=n^{3-x}*log 3$
Ora
$\sum frac{1}{n^(x-3)}$ è un'armanica generalizzata che converge se $x-3>1$
$log (1+(1/n^4))~1/n^4$
$frac{1/n*log 3}{1/n^4*n^x}=n^{-1+4-x}*log 3=n^{3-x}*log 3$
Ora
$\sum frac{1}{n^(x-3)}$ è un'armanica generalizzata che converge se $x-3>1$
Grazie mille!
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