Studio carattere serie numerica e stima N per calcolare somma con errore prescritto

[rodrigoruiz1]

Salve, ho dei problemi a calcolare l'errore di una serie convergente.

Il testo è il seguente:

[math](sommatoria) (n+6)/(n^4+n^2+1) [/math]

da 0 a +00 usando gli asintotici mi viene:

[math] n/n^4 = 1/n^3 [/math]

e quindi visto che l'esponente è >1 la serie converge (correggetemi se sbaglio).

Successivamente mi chiede di calcolare quanti termini occorre sommare affinchè l'errore (in valore assoluto) sia minore di

[math] 10^-2 [/math]

.

[Studente Anonimo]

Come ti ho già risposto in un altro forum, data la serie numerica

[math]\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{n + 6}{n^4 + n^2 + 1} \end{aligned}[/math]

dal momento che si ha

[math]\begin{aligned} \frac{n + 6}{n^4 + n^2 + 1} \le \frac{2}{n^3} \; \; \; \forall\, n \ge 6\end{aligned}[/math]

per il criterio di convergenza del confronto tale serie non può che convergere.

Ora, definendo rispettivamente le seguenti quantità:

[math]\begin{aligned} S := \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{n + 6}{n^4 + n^2 + 1} \,, \; \; \; S(N) := \sum_{n = 0}^N \frac{n + 6}{n^4 + n^2 + 1} \,,\end{aligned}[/math]

ove siamo interessati a stimare

[math]\begin{aligned} |R(N)| := |S - S(N)| = \sum_{n = N + 1}^{+\infty} \frac{n + 6}{n^4 + n^2 + 1} \,,\end{aligned}[/math]

dalla disuguaglianza di cui sopra, si ha

[math]\begin{aligned} \sum_{n = N + 1}^{+\infty} \frac{n + 6}{n^4 + n^2 + 1} \le \sum_{n = N+1}^{+\infty} \frac{2}{n^3} \end{aligned}[/math]

e applicando la maggiorazione integrale, si ottiene

[math]\begin{aligned} \sum_{n = N+1}^{+\infty} \frac{2}{n^3} \le \int_N^{+\infty} \frac{2}{x^3}\,\text{d}x = \frac{1}{N^2}\,.\end{aligned}[/math]

In conclusione, per calcolare la somma di tale serie
con un errore inferiore a

[math]\frac{1}{100}[/math]

occorre imporre:

[math]\begin{aligned} \frac{1}{N^2} \le \frac{1}{100} \; \; \Leftrightarrow \; \; N \ge 10 \,, \end{aligned}[/math]

ossia con

[math]N = 10[/math]

siamo certi di ottenere una somma con errore infe-
riore a un centesimo rispetto alla somma esatta (con stime più accurate
non è da escludere che basti un

[math]N[/math]

inferiore a quello calcolato). ;)

[rodrigoruiz1]

Si, grazie non capisco però come passi da 2/x^3 a 1/N2

[Studente Anonimo]

Come avrò mai fatto?! Ho calcolato l'integrale indicato! Qualora riscontrassi
difficoltà in tale calcolo mostra i tuoi tentativi che ne discutiamo assieme. ;)

[rodrigoruiz1]

allora, l'integrale indefinito mi viene -6/x^2.
ho portato il 2 fuori dall'integrale e calcolato l'integrale di x^-3
= -3x^-2

[Studente Anonimo]

Bada bene che, correttamente, si ha:

[math]
\begin{aligned}
\int_N^{+\infty} \frac{2}{x^3}\,\text{d}x
& = \lim_{b \to +\infty} \int_N^b \frac{2}{x^3}\,\text{d}x \\
& = \lim_{b \to +\infty} 2\int_N^b x^{-3}\,\text{d}x \\
& = \lim_{b \to +\infty} 2\left[\frac{x^{-3+1}}{-3+1}\right]_{x=N}^{x=b} \\
& = \lim_{b \to +\infty} -\left(\frac{1}{b^2} - \frac{1}{N^2}\right) \\
& = \frac{1}{N^2} \; .
\end{aligned}\\
[/math]

Tutto qui. ;)

[rodrigoruiz1]

vero, mi sono confuso con le derivate un'ultima cosa, riguardando bene non capisco da dove esca quel 2 di 2/n^3

[Studente Anonimo]

1. Se lo scopo è esclusivamente quello di studiare il carattere di una serie
numerica (a termini positivi) allora, come hai ben scritto, la via più rapida
consiste nell'applicare il criterio di convergenza asintotico:

[math]\begin{aligned} \frac{n + 6}{n^4 + n^2 + 1} \sim \frac{n}{n^4} = \frac{1}{n^3} \end{aligned}\\[/math]

(per

[math]n \to +\infty[/math]

) e ricordando quando converge la serie armonica gene-
ralizzata lo studio è bello che concluso.


2. Se lo scopo non è solo quello del punto precedente, bensì consta anche
di stimare la somma di tale serie (nel caso di convergenza, ovviamente),
allora il criterio di convergenza a cui far riferimento è quello del confronto.
Prendendo spunto dalla stima asintotica di cui sopra, si nota che

[math]
\begin{aligned}
& \frac{n + 6}{n^4 + n^2 + 1} \le \frac{1}{n^3} \; \; \Rightarrow \; \; \not\exists\,n \in \mathbb{N} \; ; \\
& \frac{n + 6}{n^4 + n^2 + 1} \le \frac{2}{n^3} \; \; \Leftrightarrow \; \; n \ge 6 \; ;
\end{aligned}\\
[/math]

e quindi si opta per la seconda scelta, dato che a noi interessa che tale maggio-
razione valga definitivamente, ossia da un certo

[math]n[/math]

in poi. Come fatto notare
sopra, la scelta di tale maggiorazione non la si attua in maniera assoluta, ossia
vi sono più scelte papabili: migliore sarà la scelta e più corretta sarà la stima
di

[math]N[/math]

. In ogni modo, se dovessi scegliere come successione maggiorante

[math]\frac{6}{n^3}[/math]

stimerai un

[math]N \ge 18[/math]

che seppur sia distante dall'

[math]N[/math]

ottimale tale da
soddisfare la richiesta del problema, riceverai comunque il massimo dei punti
dato che lo scopo dell'esercizio è ben altro!)

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[rodrigoruiz1]

ah ok, quindi al posto di 2 potevo benissimo scrivere un qualsiasi numero ma hai scelto il due così da fare in modo di semplificare l'integrale, giusto?

[Studente Anonimo]

Come ti ho mostrato nel dettaglio, innanzitutto ho individuato la successione
a cui è asintotica quella in esame, ossia

[math]\frac{1}{n^3}[/math]

. A quel punto, partendo da quanto
trovato, ho cominciato a guardarmi attorno per trovare una successione che riesca
a maggiorare definitivamente (ossia da un certo

[math]n[/math]

in poi) la successione in og-
getto. Dal momento che

[math]\frac{1}{n^3}[/math]

non porge i frutti desiderati, ho considerato

[math]\frac{2}{n^3}[/math]

e
mi sono fermato in quanto per

[math]n \ge 6[/math]

maggiora la successione data. Ciò fatto,
mi sono preoccupato della maggiorazione integrale, quella vien dopo (e ancora
una volta non è l'unica via percorribile). ;)

[rodrigoruiz1]

va bene ho capito.. grazie della pazienza :)