Studio carattere serie numerica
Buongiorno, mi potreste aiutare a stabilire il carattere della seguente serie al variare di $ainRR$?
$sum_{n=1}^(+oo) (n!)/(n+1)^(an)$
Io ho stabilito che se $a<=0$ la serie diverge perchè non vale la condizione necessaria, però resto bloccato al caso $a>0$: ho provato in questo caso ad applicare il criterio della radice e mi resta che:
$b_n=(a_n)^(1/n)~((n!)^(1/n))/n^a$.
Manipolandolo algebricamente ottengo.....
......$=e^(1/nlog(n!)-alog(n))$
ma a questo punto non riesco a concludere...
mi aiutereste?
Grazie mille!
$sum_{n=1}^(+oo) (n!)/(n+1)^(an)$
Io ho stabilito che se $a<=0$ la serie diverge perchè non vale la condizione necessaria, però resto bloccato al caso $a>0$: ho provato in questo caso ad applicare il criterio della radice e mi resta che:
$b_n=(a_n)^(1/n)~((n!)^(1/n))/n^a$.
Manipolandolo algebricamente ottengo.....
......$=e^(1/nlog(n!)-alog(n))$
ma a questo punto non riesco a concludere...
mi aiutereste?
Grazie mille!
Risposte
Ciao 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6!
Grazie per l'intervento, in effetti avevo sentito parlare di questa formula ma non l'abbiamo trattata e quindi non la posso utilizzare.
Grazie lo stesso; sapresti come farlo senza la formula di Stirling?
Grazie per l'intervento, in effetti avevo sentito parlare di questa formula ma non l'abbiamo trattata e quindi non la posso utilizzare.
Grazie lo stesso; sapresti come farlo senza la formula di Stirling?
Mmh, sospetto che ti serva sapere l'andamento asintotico preciso di \( n! \) per poter concludere su tutti gli \(a\). Potresti provare ad usare \( e^{\log(n!) / n} = e^{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log(k)} \) e a stimare la somma all'esponente con l'integrale \( \int_1^n \log(x) \, dx\). O prova col rapporto.
Ciao alex210,
Proverei col Criterio del rapporto.
Dovresti trovare che la serie proposta converge per $a \ge 1 $
Proverei col Criterio del rapporto.
Dovresti trovare che la serie proposta converge per $a \ge 1 $
Piccola osservazione: la convergenza per $a > 1$ si può ottenere anche dalla stima:
$\sum (n!)/((n+1)^(an)) \le \sum (n^n)/(n+1)^(an) $
E l'ultima serie converge facilmente per il criterio della radice per $a > 1$.
Ovviamente questo non dice nulla per $a \in (0,1]$ (dato che la serie a destra diverge), però penso sia un'osservazione utile.
Edit:
Si giunge alla stessa conclusione anche con la stima: $(n+1)^n >= n!$, da cui:
$\sum (n!)/((n+1)^(an)) \le \sum (n!)/(n!)^a $, dove l'ultima serie converge (per il criterio del rapporto, ad esempio) per $a > 1$
O ancora, utilizzando che $(n+1)^n \ge (n+1)!$, si ha il confronto con la serie $\sum 1/(n+1)^a$ che, essendo un'armonica, converge per $a>1$.
Ovviamente, per capire esattamente per quali $a$ converge e quali diverge, bisogna necessariamente ricorrere al criterio del rapporto
$\sum (n!)/((n+1)^(an)) \le \sum (n^n)/(n+1)^(an) $
E l'ultima serie converge facilmente per il criterio della radice per $a > 1$.
Ovviamente questo non dice nulla per $a \in (0,1]$ (dato che la serie a destra diverge), però penso sia un'osservazione utile.
Edit:
Si giunge alla stessa conclusione anche con la stima: $(n+1)^n >= n!$, da cui:
$\sum (n!)/((n+1)^(an)) \le \sum (n!)/(n!)^a $, dove l'ultima serie converge (per il criterio del rapporto, ad esempio) per $a > 1$
O ancora, utilizzando che $(n+1)^n \ge (n+1)!$, si ha il confronto con la serie $\sum 1/(n+1)^a$ che, essendo un'armonica, converge per $a>1$.
Ovviamente, per capire esattamente per quali $a$ converge e quali diverge, bisogna necessariamente ricorrere al criterio del rapporto
Grazie a tutti, mi siete stati molto d'aiuto!
Sennò potevi procedere anche con il criterio del rapporto.
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