STUDIO CARATTERE SERIE AL VARIARE DI PARAMETRO
Salve ragazzi, sono nuova qui sul forum. Sono una studentessa di analisi 1 e desidererei un chiarimento sullo studio del carattere di una serie.
In particolare, vorrei sapere come si imposta un esercizio di questo genere:
$ sum_(n =1 \ldots) n^2(sen(1/n^a)-1/(n^a+1)) $
al variare del parametro a in R+. (la sommatoria va da 1 ad infinito, non sapevo come inserirlo).
Vi ringrazio !
In particolare, vorrei sapere come si imposta un esercizio di questo genere:
$ sum_(n =1 \ldots) n^2(sen(1/n^a)-1/(n^a+1)) $
al variare del parametro a in R+. (la sommatoria va da 1 ad infinito, non sapevo come inserirlo).
Vi ringrazio !
Risposte
Il termine generale della serie è asintotico a
\[
n^2\bigg(\frac{1}{n^a}-\frac{1}{n^a+1}\bigg)=n^2\bigg(\frac{1}{n^a(n^a+1)}\bigg)\sim \frac{1}{n^{2a-2}}
\]
dunque la serie converge se e solo se $2a-2>1$, ovvero $a>3/2$.
\[
n^2\bigg(\frac{1}{n^a}-\frac{1}{n^a+1}\bigg)=n^2\bigg(\frac{1}{n^a(n^a+1)}\bigg)\sim \frac{1}{n^{2a-2}}
\]
dunque la serie converge se e solo se $2a-2>1$, ovvero $a>3/2$.
In classe non abbiamo trattato il criterio di confronto asintotico, che credo tu abbia applicato .
Gli unici che conosco sono quello " degli infinitesimi ", rapporto/radice e quello che noi chiamiamo di "confronto", che consiste in una semplice maggiorazione o minorazione della serie con serie note o piu facili da trattare ( ad esempio un prodotto di un seno per una serie veniva maggiorato con 1* serie).
Come mai non e stata controllata la necessità per la convergenza (termine generale che va a zero) ed e stata trattata come serie a termini non negativi?
Chiedo scusa, sono davvero confusa
Gli unici che conosco sono quello " degli infinitesimi ", rapporto/radice e quello che noi chiamiamo di "confronto", che consiste in una semplice maggiorazione o minorazione della serie con serie note o piu facili da trattare ( ad esempio un prodotto di un seno per una serie veniva maggiorato con 1* serie).
Come mai non e stata controllata la necessità per la convergenza (termine generale che va a zero) ed e stata trattata come serie a termini non negativi?
Chiedo scusa, sono davvero confusa
Perché usando il criterio del confronto asintotico, che però tu non hai ancora fatto, quello che ti ho scritto è sufficiente. Senza il confronto asintotico non ho proprio idea di come si potrebbe risolvere.
ti ringrazio allora !
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