Studio carattere serie
Salve gente!
Ho una serie che va da 0 a infinito di fn(x) = 1 / (1+n^2 x^2) e devo studiarne la convergenza puntuale ed uniforme.
Ho provato subito con la convergenza totale, studiando la serie del sup|fn(x)|. Poiché le fn sono continue e derivabili, ne ho studiato la derivata prima ottenendo 0 come punto massimo, ottenendo che sup|fn(x)| = f(0), che viene 1.
---> serie di n da 0 a infinito di 1 ?? Qualcuno saprebbe dirmi dove sbaglio?
Grazie
Ho una serie che va da 0 a infinito di fn(x) = 1 / (1+n^2 x^2) e devo studiarne la convergenza puntuale ed uniforme.
Ho provato subito con la convergenza totale, studiando la serie del sup|fn(x)|. Poiché le fn sono continue e derivabili, ne ho studiato la derivata prima ottenendo 0 come punto massimo, ottenendo che sup|fn(x)| = f(0), che viene 1.
---> serie di n da 0 a infinito di 1 ?? Qualcuno saprebbe dirmi dove sbaglio?
Grazie
Risposte
Ciao,e benvenuto/a su questo Forum!
In merito al tuo esercizio,
invitandoti a metter il codice del "matematichese" tra 2 simboli di dollaro per renderlo più leggibile agli altri utenti,
devo chiederti due cose:
1)Qual'è l'intervallo base della tua successione di funzioni?
2)Se è $I=[0,1]$,
che ne dici intanto di scrivere la funzione cui essa converge puntualmente e farci poi sapere il suo valore in $x_0=0$?
La risposta a quest'ultima domanda è decisiva,
e ti permettera di capire perchè quel tuo tentativo,pur legittimo,stà fallendo:
saluti dal web.
In merito al tuo esercizio,
invitandoti a metter il codice del "matematichese" tra 2 simboli di dollaro per renderlo più leggibile agli altri utenti,
devo chiederti due cose:
1)Qual'è l'intervallo base della tua successione di funzioni?
2)Se è $I=[0,1]$,
che ne dici intanto di scrivere la funzione cui essa converge puntualmente e farci poi sapere il suo valore in $x_0=0$?
La risposta a quest'ultima domanda è decisiva,
e ti permettera di capire perchè quel tuo tentativo,pur legittimo,stà fallendo:
saluti dal web.
Di solito il prof ci lascia stabilire l'intervallo, pertanto guardando al denominatore ho pensato a tutto l'insieme dei numeri reali. Se non erro la successione di funzioni tende puntualmente a f(x)=0.
Ti ringrazio per l'attenzione, cercherò di scrivere meglio.
Ti ringrazio per l'attenzione, cercherò di scrivere meglio.
Fà attenzione,anche nel caso del tuo intervallo base,
perchè $EElim_(n to oo)f_n(0)=lim_(n to oo)cdots=cdotsne0$:
saluti dal web.
perchè $EElim_(n to oo)f_n(0)=lim_(n to oo)cdots=cdotsne0$:
saluti dal web.
Il limite da te indicato è 1. Sto cercando di venirne a capo ma ho qualche difficoltà.
Bene:
ora prova a scrivere la filastrocca sull'uniforme convergenza ponendo,ad esempio,x'=1,
che magari ti salta all'occhio come la scelta dell'opportuno $nu$ non sia dipendente solo da $epsilon$ e totalmente indipendente dai due fissati valori della $x in RR$..
Saluti dal web.
ora prova a scrivere la filastrocca sull'uniforme convergenza ponendo,ad esempio,x'=1,
che magari ti salta all'occhio come la scelta dell'opportuno $nu$ non sia dipendente solo da $epsilon$ e totalmente indipendente dai due fissati valori della $x in RR$..
Saluti dal web.
Dunque se ho capito bene si tratta di escludere l'origine, avendo così la convergenza totale in (-inf, -ϵ] U [ϵ, inf), e dunque anche quella uniforme, con ϵ piccolo maggiore di 0.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo