Studio carattere serie

[mazzy89-votailprof]

data la serie: $sum_{n=3}^oo 1/(nlognloglogn)$ studiarne il carattere

di questa serie posso solamente dire che è una serie a termini positivi.per il resto mi blocco

[salvozungri]

"mazzy89":data la serie: $sum_{n=3}^oo 1/(nlognloglogn)$ studiarne il carattere

di questa serie posso solamente dire che è una serie a termini positivi.per il resto mi blocco

Io opto per il test integrale per la convergenza, non so se tu conosca questo teorema, perciò te lo enuncio :
Teorema: Sia f una funzione 1. decrescente e 2. non negativa definita su $[N, \infty)$. La serie
$\sum_{n=N}^{\infty} f(n)$ coverge se e solo se l'integrale: $\int_{N}^\infty f(x)dx$ converge


In questo caso
1.$f(x)= 1/(x log(x)log(log(x)))$ è una funzione decrescete? Sì (perchè?)
2.$f(x)>=0$ su $[3,+ \infty)$?Sì,(perchè?)

Ok le ipotesi del teorema sono soddisfatte, quindi possiamo lavorare con l'integrale:

$\int_{3}^\infty 1/(x log(x)log(log(x)))dx =$ (tu)

Poichè l'integrale ...... allora anche la serie ......

Suggerimento per l'integrale

Osserva che $1/(x log(x))$ è la derivata di $log(log(x))$ quindi la funzione integranda si presenta nella forma: $(f'(x))/f(x)$

[mazzy89-votailprof]

@Mathematico
Ne avevo letto quà e là riguardo a questo teorema da te enunciato ma non l'ho mai messo in pratica.Nel mio corso di analisi 1 il mio prof non l'ha neache enunciato lontanamente.Allora mi metto a lavoro per risolvere questa serie con l'ottimo spunto che mi hai dato

[mazzy89-votailprof]

Per provare che essa è decrescente passare per la derivata prima mi sembra alquanto ostico.cosa proponi Mathematico? Invece si vede ad "occhio" che nell'intervallo $[3,+oo)$ la $f(x)$ è sempre positiva

[salvozungri]

Io ho considerato la funzione
$g(x)= x log(x)log(log(x))$
che è composta da funzioni crescenti, e dunque crescente. Ciò significa che presi $x, y \in [3, +infty)$ con $x
$f(x)= 1/g(x)> 1/g(y)= f(y)$ e dunque ha che la funzione $f(x)$ è decrescente

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Io ho considerato la funzione
$g(x)= x log(x)log(log(x))$
che è composta da funzioni crescenti, e dunque crescente. Ciò significa che presi $x, y \in [3, +infty)$ con $x
$f(x)= 1/g(x)> 1/g(y)= f(y)$ e dunque ha che la funzione $f(x)$ è decrescente

ottimo ragionamento.grazie mathematico. Riguardo alla positività la $f(x)$ è composta da funzioni positive nell'intervallo $[3,+oo)$ quindi sarà positiva per $x in [3,+oo)$

[mazzy89-votailprof]

Poichè l'integrale diverge a $+oo$ anche la serie data per il teorema enunciato da Mathematico diverge a $+oo$

[mazzy89-votailprof]

Adesso mi chiedo: quand'è che conviene usare il suddetto teorema poc'anzi enunciato da Mathematico per la risoluzione delle serie?Ovviamente mi auto-rispondo che devono prima essere soddisfatte le ipotesi del teorema.Ma ci sono casi in particolare?

[salvozungri]

"mazzy89":
Riguardo alla positività la $f(x)$ è composta da funzioni positive nell'intervallo $[3,+oo)$ quindi sarà positiva per $x in [3,+oo)$

Non va bene. Ti faccio un esempio, considera:
$h(x)= log(x)$
$k(x)= sin(x)$

Prendiamo in considerazione l'intervallo $x\in [1, pi) $
Sia il logaritmo che il seno sono funzioni positive, ma la loro composizione, $h(k(x))= log(sin(x))$, no!

Io ho ragionato così. Ho osservato che $f(x)=1/(x log(x)log(log(x)))$ è decrescente e continua in $[3, \infty)$. Poichè è decrescente allora hai che l'estremo inferiore è dato da $lim_{x->infty}f(x)=0$ (lo puoi vedere ad occhio nudo ) e dunque $0

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[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":[quote="mazzy89"]
Riguardo alla positività la $f(x)$ è composta da funzioni positive nell'intervallo $[3,+oo)$ quindi sarà positiva per $x in [3,+oo)$

Non va bene. Ti faccio un esempio, considera:
$h(x)= log(x)$
$k(x)= sin(x)$

Prendiamo in considerazione l'intervallo $x\in [1, pi) $
Sia il logaritmo che il seno sono funzioni positive, ma la loro composizione, $h(k(x))= log(sin(x))$, no!

Io ho ragionato così. Ho osservato che $f(x)=1/(x log(x)log(log(x)))$ è decrescente e continua in $[3, \infty)$. Poichè è decrescente allora hai che l'estremo inferiore è dato da $lim_{x->infty}f(x)=0$ (lo puoi vedere ad occhio nudo ) e dunque $0 mmm capito tutto chiaro adesso.bastava controllare l'estremo inf.perchè non c'ho pensato prima?!?!

[salvozungri]

sono contento

Adesso mi chiedo: quand'è che conviene usare il suddetto teorema poc'anzi enunciato da Mathematico per la risoluzione delle serie?Ovviamente mi auto-rispondo che devono prima essere soddisfatte le ipotesi del teorema.Ma ci sono casi in particolare?

Io lo utilizzo di solito quando c'è un logaritmo al denominatore accompagnato dalla sua derivata, che ne so tipo $1/(xlog(x))$. Questo è, per quanto mi riguarda, un campanello d'allarme. Lo devi applicare quando "ti conviene". Se l'integrale non è immediato allora non ti ci mettere proprio perchè rischi di perdere molto tempo!

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":sono contento

Adesso mi chiedo: quand'è che conviene usare il suddetto teorema poc'anzi enunciato da Mathematico per la risoluzione delle serie?Ovviamente mi auto-rispondo che devono prima essere soddisfatte le ipotesi del teorema.Ma ci sono casi in particolare?

Io lo utilizzo di solito quando c'è un logaritmo al denominatore accompagnato dalla sua derivata, che ne so tipo $1/(xlog(x))$. Questo è, per quanto mi riguarda, un campanello d'allarme. Lo devi applicare quando "ti conviene". Se l'integrale non è immediato allora non ti ci mettere proprio perchè rischi di perdere molto tempo!

Invece ero partito con il criterio di condensazione di Cauchy ma mi sono perso.Io la serie $sum_{n=1}^oo 1/(nlogn)$ la risolvo tramite il criterio di condensazione di Cauchy facendola diventare $sum_{n=1}^oo 2^n*1/(2^nlog(2^n))$ $=>$ $sum_{n=1}^oo 1/(nlog2)$

[salvozungri]

Sinceramente non ho guardato se tornava più semplice con il criterio di condensazione. Adesso ci provo e ti faccio sapere

Edit: Ci ho provato!
In pratica ho fatto in questo modo:

$b_n= 2^n a_{2n}$ con $a_n= 1/(n log(n) log(log(n)))$
$b_n=2^n 1/(2^n log(2^n) log(log(2^n))) = 1/(nlog(2) log(n log(2))) = 1/(n log(2) (log(n)+log(log(2))))$ a questo punto puoi tranquillamente affermare che la serie dei $b_n$ diverge perchè si comporta come $\sum1/(n log(n))$ che diverge per il criterio di condensazione.

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Sinceramente non ho guardato se tornava più semplice con il criterio di condensazione. Adesso ci provo e ti faccio sapere

Edit: Ci ho provato!
In pratica ho fatto in questo modo:

$b_n= 2^n a_{2n}$ con $a_n= 1/(n log(n) log(log(n)))$
$b_n=2^n 1/(2^n log(2^n) log(log(2^n))) = 1/(nlog(2) log(n log(2))) = 1/(n log(2) (log(n)+log(log(2))))$ a questo punto puoi tranquillamente affermare che la serie dei $b_n$ diverge perchè si comporta come $\sum1/(n log(n))$ che diverge per il criterio di condensazione.

quindi diciamo mathematico che mettendo a confronti i due metodi conviene quello di Cauchy anche se a mio parere quello messo in pratica da te a un certo suo fascino