Studio carattere di una serie
Salve a tutti,
sto cercando di determinare il carattere di questa serie:
$ sum_(n = 1)^(oo) sqrt(n^2(e^{1/n^2}-1-1/n^2 )) $
Col criterio della radice non ho provato ma a occhio non mi sembra possa servire. Allora ho provato col criterio del rapporto ma anche così non ho ottenuto nulla.
Cosa posso inventarmi secondo voi?
sto cercando di determinare il carattere di questa serie:
$ sum_(n = 1)^(oo) sqrt(n^2(e^{1/n^2}-1-1/n^2 )) $
Col criterio della radice non ho provato ma a occhio non mi sembra possa servire. Allora ho provato col criterio del rapporto ma anche così non ho ottenuto nulla.
Cosa posso inventarmi secondo voi?
Risposte
fai lo sviluppo asintotico dell'esponenziale
scusami ma facendo come dici non mi va tutto a zero??
devi fare uno sviluppo almeno del secondo ordine
ma per sviluppo asintotico intendi sviluppo di taylor?
sì, Taylor è uno sviluppo asintotico
e come si fa a sviluppare $e^(1/n^(2))$ ??? non ti seguo..
lo sviluppo di Taylor di $e^t$ per $t \to 0$ è:
$e^t=\sum _{n=0} ^{+ \infty} {t^n}/{n!} = 1 + t + {t^2}/{2!}+{t^3}/{3!}+{t^4}/{4!}+...$
ora, siccome $n\to+\infty \Rightarrow 1/{n^2} \to 0$ puoi fare la sostituzione $t=1/{n^2}$ e scrivere:
$e^{1/{n^2}}=...$
$e^t=\sum _{n=0} ^{+ \infty} {t^n}/{n!} = 1 + t + {t^2}/{2!}+{t^3}/{3!}+{t^4}/{4!}+...$
ora, siccome $n\to+\infty \Rightarrow 1/{n^2} \to 0$ puoi fare la sostituzione $t=1/{n^2}$ e scrivere:
$e^{1/{n^2}}=...$
Grazie per la paziente risposta!
Avrei un altro problema simile e vorrei capire se ho fatto bene stavolta. Devo trovare il carattere di questa serie:
$ sum_(n = 1)^(oo)n/(1+cos(2n)) $
Ho fatto lo sviluppo del coseno ottenendo $ n/(1+(1-((2n)^2)/2)) $ ovvero $ n/(2-2n^2) $ , quindi ho provato col confronto asintotico con $ 1/n $ e il limite mi è uscito uguale a 1 e ho concluso che la serie di partenza diverge.
Secondo voi è tutto giusto?? Esiste per caso un modo per verificare l'esattezza di un procedimento?
Grazie
Avrei un altro problema simile e vorrei capire se ho fatto bene stavolta. Devo trovare il carattere di questa serie:
$ sum_(n = 1)^(oo)n/(1+cos(2n)) $
Ho fatto lo sviluppo del coseno ottenendo $ n/(1+(1-((2n)^2)/2)) $ ovvero $ n/(2-2n^2) $ , quindi ho provato col confronto asintotico con $ 1/n $ e il limite mi è uscito uguale a 1 e ho concluso che la serie di partenza diverge.
Secondo voi è tutto giusto?? Esiste per caso un modo per verificare l'esattezza di un procedimento?
Grazie
Lo sviluppo del $ cos $ che hai scritto vale se l'argomento tende a 0 ma non se tyende all '$oo$.
Quindi come posso risolvere?
Hai controllato che sia verificata la condizione necessaria alla convergenza?
Hai provato a minorare sensatamente gli addendi?
Hai provato a minorare sensatamente gli addendi?
Non è verificata, il limite di $ a_n $ va a infinito. Posso dire che diverge allora??
Certo.
Anche perchè, essendo [tex]$1+\cos 2n \leq 2$[/tex], la tua serie è minorata da una serie armonica.
Anche perchè, essendo [tex]$1+\cos 2n \leq 2$[/tex], la tua serie è minorata da una serie armonica.
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