Studio carattere di una serie
Salve ragazzi, sono alle prese con le prime lezioni di Analisi II e stiamo trattando le serie, in particolare i primi esercizi che ci sono stati assegnati hanno come scopo quello dello studio del carattere di una serie. Per quanto riguarda la teoria credo che non ci siano troppi problemi, per quanto riguarda gli esercizi conosco lo svolgimento da fare ma non sono sicuro di farlo bene e vorrei avere se possibile una conferma o qualche consiglio su come affrontare questi tipi di esercizi.
Parto con un esempio pratico di un esercizio che ci è stato assegnato e che ho svolto ma non sono sicuro che sia corretto.
$ sum (sqrt[k]) / sqrt[k^2 + k + 1] $
con k = 1 che va all'infinito (la seconda è una radice quadrata, la prima è una radice cubica non sono riuscita a inserirla! >.<).
Innanzitutto c'è da vedere se i termini della serie sono tutti positivi ed in questo caso è vero. Dopo bisogna applicare un teorema tra quello del confronto, confronto asintotico, infinitesimi e rapporto. Io per questo ho voluto applicare quello degli infinitesimi poichè credo che possa semplificare tutte le radici.
Nel teorema degli infinitesimi bisogna fare il limite per k che tende all'infinito della serie per k elevato ad un alfa.
L'alfa da me preso in considerazione è stato quello di 13/6 in modo che durante i calcoli tra gli esponenti alla fine riesca a semplificare tutte le radici ed ottenere un k al quadrato sopra e un k al quadrato sotto e ottenere che il limite è uguale ad 1.
Siccome il limite esiste ed è finito compreso tra 0 e +infinito con un alfa maggiore di 1 per il teorema degli infinitesimi la serie converge.
Qualcuno di buona volontà che mi aiuti a capire se è tutto giusto, se ho detto tutte cose sbagliate (molto probabile) o se salto/manco qualcosa, non so proprio come risolvere questi eserciz...
Grazie in anticipo!
Parto con un esempio pratico di un esercizio che ci è stato assegnato e che ho svolto ma non sono sicuro che sia corretto.
$ sum (sqrt[k]) / sqrt[k^2 + k + 1] $
con k = 1 che va all'infinito (la seconda è una radice quadrata, la prima è una radice cubica non sono riuscita a inserirla! >.<).
Innanzitutto c'è da vedere se i termini della serie sono tutti positivi ed in questo caso è vero. Dopo bisogna applicare un teorema tra quello del confronto, confronto asintotico, infinitesimi e rapporto. Io per questo ho voluto applicare quello degli infinitesimi poichè credo che possa semplificare tutte le radici.
Nel teorema degli infinitesimi bisogna fare il limite per k che tende all'infinito della serie per k elevato ad un alfa.
L'alfa da me preso in considerazione è stato quello di 13/6 in modo che durante i calcoli tra gli esponenti alla fine riesca a semplificare tutte le radici ed ottenere un k al quadrato sopra e un k al quadrato sotto e ottenere che il limite è uguale ad 1.
Siccome il limite esiste ed è finito compreso tra 0 e +infinito con un alfa maggiore di 1 per il teorema degli infinitesimi la serie converge.
Qualcuno di buona volontà che mi aiuti a capire se è tutto giusto, se ho detto tutte cose sbagliate (molto probabile) o se salto/manco qualcosa, non so proprio come risolvere questi eserciz...
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao, io ti posso dire come scrivere la serie: $\sum_(k=1)^(\infty)\root(3)(k)/\sqrt(k^2+k+1)$ si scrive con questo codice:
Per altre info guarda qua: http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
cmq, aspettiamo che risponda qualcuno di piu' qualificato ma credo che non basti il limite che tende ad infinito per capire se una serie è convergente o meno, si è una condizione necessaria ma non sufficiente! Un esempio è $lim_(n\to\infty)1/n = 0$ ma la serie $\sum_(n=1)^\infty 1/n$ diverge. potresti usare il metodo del confronto: $lim_(n\to\infty)a_(n+1)/a_n$! e vedere se è minore di 1
Vediamo che dicono i prof
\sum_(k=1)^(\infty)\root(3)(k)/\sqrt(k^2+k+1)
Per altre info guarda qua: http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
cmq, aspettiamo che risponda qualcuno di piu' qualificato ma credo che non basti il limite che tende ad infinito per capire se una serie è convergente o meno, si è una condizione necessaria ma non sufficiente! Un esempio è $lim_(n\to\infty)1/n = 0$ ma la serie $\sum_(n=1)^\infty 1/n$ diverge. potresti usare il metodo del confronto: $lim_(n\to\infty)a_(n+1)/a_n$! e vedere se è minore di 1
Vediamo che dicono i prof
Se ci fai caso, il termine generale della serie è asintoticamente equivalente a \(\frac{1}{k^{2/3}}\), quindi la serie assegnata è equivalente alla serie \(\sum \frac{1}{k^{2/3}}\), la quale è armonica generalizzata d'esponente \(2/3<1\) e perciò diverge. Per il criterio del confronto asintotico...
gugo82:
Se ci fai caso, il termine generale della serie è asintoticamente equivalente a \(\frac{1}{k^{2/3}}\), quindi la serie assegnata è equivalente alla serie \(\sum \frac{1}{k^{2/3}}\), la quale è armonica generalizzata d'esponente \(2/3<1\) e perciò diverge. Per il criterio del confronto asintotico...
Assolutamente chiaro!
Ti ringrazio...E' un caso che vengano presi due numeri presenti nelle radici? radical tre e radice quadrata in modo reciproco
"Eduadie":
E' un caso che vengano presi due numeri presenti nelle radici? radical tre e radice quadrata in modo reciproco
non ho capito
ti chiedi da dove deriva il $1/k^(2/3)$?
"BoG":
ti chiedi da dove deriva il 1k23?
in effetti credo si chieda proprio questo. Semplicemente osserva che, per $k->+ infty$, il termine $sqrt(k^2 + k + 1)$ è asintotico a $sqrt(k^2)$, quindi per il termine generale vale $root(3)(k)/sqrt(k^2 + k + 1)$ asintotico a $root(3)(k)/sqrt(k^2)$, ovvero, essendo k positivo, $1/k^(1-1/3)$, c.v.d.
osserva quindi che usi il teorema del confronto asintotico, non degli infinitesimi,
Certo tutto molto chiaro. Davvero grazie...Siete stati gentilissimo e di aiutarmi anche nelle prossime cose (speriamo non troppo dai 
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