Studio carattere di alcune serie numeriche
Salve a tutti, vorrei proporvi alcuni esercizi in merito alle serie numeriche.
I primi due credo di averli risolti correttamente, ma per il terzo ho avuto qualche difficoltà
1) $sum_(n=1)^infty (-1)^n*(n^2-1)/(n^2+1)$
applicando il criterio di Leibniz, dovrebbe divergere a $infty$
2) $sum_(n=1)^infty (2^(-1))^n/(n^alpha)$
il criterio del confronto con la serie armonica, suggerisce che converge
3) $sum_(n=0)^infty ((-1)^n)^2*(sin(-1/(x^2+1))^n$
e qui mi sono bloccato... grazie in anticipo per qualunque suggerimento
I primi due credo di averli risolti correttamente, ma per il terzo ho avuto qualche difficoltà
1) $sum_(n=1)^infty (-1)^n*(n^2-1)/(n^2+1)$
applicando il criterio di Leibniz, dovrebbe divergere a $infty$
2) $sum_(n=1)^infty (2^(-1))^n/(n^alpha)$
il criterio del confronto con la serie armonica, suggerisce che converge
3) $sum_(n=0)^infty ((-1)^n)^2*(sin(-1/(x^2+1))^n$
e qui mi sono bloccato... grazie in anticipo per qualunque suggerimento
Risposte
Per la terza nota che
- $((-1)^n)^2=1 AA n in NN$
- $0<=sin (f(x))<=1$
- $\sum_{n=0}^infty q^n = 1/(1-q)$ se $|q|<1$
- se $q=1$ allora diverge chiaramente.
- $((-1)^n)^2=1 AA n in NN$
- $0<=sin (f(x))<=1$
- $\sum_{n=0}^infty q^n = 1/(1-q)$ se $|q|<1$
- se $q=1$ allora diverge chiaramente.
grazie tutto chiaro gentislissimo!
"clivend":
1) $sum_(n=1)^infty (-1)^n*(n^2-1)/(n^2+1)$
applicando il criterio di Leibniz, dovrebbe divergere a $infty$
Da quando il criterio di Leibniz dà informazioni sulla divergenza?
E anche ad occhio mi sembra che converga a zero
"gugo82":
[quote="clivend"]1) $sum_(n=1)^infty (-1)^n*(n^2-1)/(n^2+1)$
applicando il criterio di Leibniz, dovrebbe divergere a $infty$
Da quando il criterio di Leibniz dà informazioni sulla divergenza?[/quote]
Ciao grazie per esserti soffermato su questi esercizi.
Il mio ragionamento (esteso) è stato: la serie è a termini positivi, quindi converge o diverge a inf. Applicando Leibniz scopro che non converge, in quanto $lim_(x->infty) (n^2-1)/(n^2+1) = 1 !=0$, dunque diverge. Please, qualunque correzione in merito è importane per me
Perchè dici che la serie è a termini positivi? $(-1)^n$ vale $1$ se $n=2k$ e $-1$ se $n=2k-1$
"kobeilprofeta":
Perchè dici che la serie è a termini positivi? $(-1)^n$ vale $1$ se $n=2k$ e $-1$ se $n=2k-1$
hai ragione, devo pensare un attimo di più prima di scrivere sciocchezze.
ok a questo punto so che la successione $(n^2-1)/(n^2+1)$ non è infinitesima, quindi d'accordo che la serie non converge (sempre secondo Leibniz)
come posso studiarla ulteriormente?
Beh, per ogni indice hai:
\[
\frac{n^2-1}{n^2+1} = 1 - \frac{2}{n^2+1}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
s_N &:=\sum_{n=0}^N (-1)^n\ \frac{n^2-1}{n^2+1} \\
&= \underbrace{\sum_{n=0}^N (-1)^n}_{\color{maroon}{=: \sigma_N}} - 2\ \underbrace{\sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{n^2+1}}_{\color{maroon}{=: \theta_N}}\\
&= \sigma_N - 2\ \theta_N
\end{split}
\]
e da ciò segue che la successione delle somme parziali \(s_N\) non converge: invero, mentre la successione \(\theta_N\) converge (poiché concide con la successione delle somme parziali della serie assoluamente convergente \(\sum \frac{(-1)^n}{n^2+1}\)) ad un numero \(1/2<\theta<1\), la successione \(\sigma_N\) oscilla indefinitamente tra i valori \(0\) (in corrispondenza di \(N=2M+1\) dispari) ed \(1\) (in corrispondenza di \(N=2M\) pari); conseguentemente si ha:
\[
\lim_M s_{2M} = \lim_M \sigma_{2M} - 2\ \theta_{2M} = 1-2\theta \neq -2\theta = \lim_M \sigma_{2M+1} - 2\ \theta_{2M+1} = \lim_M s_{2M+1}
\]
e perciò \(s_N\) non converge.
\[
\frac{n^2-1}{n^2+1} = 1 - \frac{2}{n^2+1}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
s_N &:=\sum_{n=0}^N (-1)^n\ \frac{n^2-1}{n^2+1} \\
&= \underbrace{\sum_{n=0}^N (-1)^n}_{\color{maroon}{=: \sigma_N}} - 2\ \underbrace{\sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{n^2+1}}_{\color{maroon}{=: \theta_N}}\\
&= \sigma_N - 2\ \theta_N
\end{split}
\]
e da ciò segue che la successione delle somme parziali \(s_N\) non converge: invero, mentre la successione \(\theta_N\) converge (poiché concide con la successione delle somme parziali della serie assoluamente convergente \(\sum \frac{(-1)^n}{n^2+1}\)) ad un numero \(1/2<\theta<1\), la successione \(\sigma_N\) oscilla indefinitamente tra i valori \(0\) (in corrispondenza di \(N=2M+1\) dispari) ed \(1\) (in corrispondenza di \(N=2M\) pari); conseguentemente si ha:
\[
\lim_M s_{2M} = \lim_M \sigma_{2M} - 2\ \theta_{2M} = 1-2\theta \neq -2\theta = \lim_M \sigma_{2M+1} - 2\ \theta_{2M+1} = \lim_M s_{2M+1}
\]
e perciò \(s_N\) non converge.
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