Studiarne la continuità e la differenziabilità della funzione
salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio:
Data la funzione
$f(x,y)=\{(\frac{x y log ( |x|+|y| )}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} se (x,y)\neq 0),(0 se (x,y)= 0):}$
studiarne la continuità e la differenziabilità.
se mi potete aiutare come svolgere l'esercizio.
grazie.
Data la funzione
$f(x,y)=\{(\frac{x y log ( |x|+|y| )}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} se (x,y)\neq 0),(0 se (x,y)= 0):}$
studiarne la continuità e la differenziabilità.
se mi potete aiutare come svolgere l'esercizio.
grazie.
Risposte
Allora la continuità nel piano ad eccezione dell'origine è subito dimostrata dal fatto che la funzione è ottenuta come composizione di funzioni continue. Studiamo dunque la continuità nell'origine.
Prima di tutto verifichiamo che i limiti direzionali lungo gli assi sono nulli e poiché il grado del numeratore è di poco maggiore rispetto al denominatore, e non vi sono somme o sottrazioni sospette ci viene istintivo cercare di dimostrare che la funzione è continua nell'origine, perciò cerchiamo di dimostrare il seguente limite
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\left|\frac{xy\log(|x|+|y|)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|=0
$$
Questo limite si risolve banalmente passando in coordinate polari; abbiamo dunque che l'argomento del limite in coordinate polari diventa:
$$
\left|\frac{\rho^2\cos\theta\sin\theta\log(\rho(|\cos\theta|+|\sin\theta|)}{\rho}\right|=\frac{\rho^2|\cos\theta||\sin\theta|\left|\log(\rho(|\cos\theta|+|\sin\theta|)\right|}{\rho}
$$
Con le dovute semplificazioni ed utilizzando le proprietà dei logaritmi otteniamo che la precedente espressione diventa:
$$
\rho|\cos\theta||\sin\theta|\left|\log(\rho)+\log(|\cos\theta|+|\sin\theta|)\right|\leq\rho|\log(\rho)|+\rho|\log(|\cos\theta|+|\sin\theta|)|
$$
dove abbiamo semplicemente applicato la disuguaglianza triangolare e la limitatezza delle funzioni trigonometriche, ovvero che $|\cos\theta|\leq 1$ e che $|\sin\theta|\leq 1$ .
A questo punto non ci resta altro che notare che la funzione $g(\theta)=|\cos\theta|+|\sin\theta|$ definita su tutti reali, è una funzione sempre positiva e limitata, più precisamente è immediato notare che $1\le g(\theta)\le \sqrt{2}$ perciò il logaritmo naturale di tale funzione è anch'esso una funzione limitata, più precisamente si ha che $0\le \log(g(\theta))\le \log(\sqrt{2})$ perciò a maggior ragione il logaritmo è compreso fra $- \log(\sqrt{2})\le \log(g(\theta))\le \log(\sqrt{2})$ il che significa che $|\log(g(\theta))|\leq \log(\sqrt{2})$ .
Grazie a questa disequazione otteniamo che :
$$
\rho|\log(\rho)|+\rho|\log(|\cos\theta|+|\sin\theta|)|\leq\rho|\log(\rho)|+\rho\log(\sqrt{2})\to 0
$$
che chiaramente tende a zero per $\rho\to 0$ e poiché siamo riusciti a maggiorare il limite iniziale con una funzione che non dipende da $\theta$ allora il limite tende a zero uniformemente rispetto a $\rho$ , il che ci garantisce che il limite iniziale sia nullo, da cui la continuità nell'origine.
Per quanto riguarda la differenziabilità, la prima cosa da fare è calcolare il valore delle derivate parziali nell'origine.
Per fare ciò risulta più intelligente e rapido calcolare le derivate parziali con la definizione, invece che con le regole del calcolo.
Proviamo a calcolare la derivata parziale rispetto ad $y$ nell'origine, ovvero calcolare il limite :
$$
\lim_{y\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=\lim_{y\to 0}\frac{0-0}{y}=0
$$
e lo stesso dicasi per la derivata parziale rispetto ad $x$, per cui il gradiente di $f$ nell'origine se esiste corrisponde al vettore nullo, cioè $\nabla_f(0,0)=(0,0)$. Questo ci semplifica tremendamente la vita perché per verificare o smentire la differenziabilità dobbiamo dimostrare se è vero oppure no il seguente limite:
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-\nabla_f(0,0)\cdot (x,y)}{||(x,y)||}=0
$$
poiché il l'operatore lineare è nullo il prodotto scalare sarà nullo, inoltre la funzione è nulla per definizione nell'origine, quindi il limite da calcolare si riduce a
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy\log(|x|+|y|)}{||(x,y)||\sqrt{x^2+y^2}}
$$
in questo caso fra tutte le norme che potremmo scegliere ci viene molto comodo scegliere la norma euclidea ottenendo :
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy\log(|x|+|y|)}{x^2+y^2}
$$
A questo punto meditiamo sull'argomento... dopo un po' di rilassante yoga ed aver raggiunto l'illuminazione divina ed esserci elevati spiritualmente procediamo col calcolo fiduciosi che il limite non esista, se non siamo fiduciosi possiamo picchiare la testa contro una roccia acuminata sperando di non sopravvivere...
Non ci resta dunque che trovare una strada che faccia al caso nostro... L'obbiettivo è quello di mandare alle cozze quel dannato logaritmo in modo che possa mostrare il suo meschino comportamento, per fare ciò scegliamo una strada a prima vista bizzarra ovvero
$$
|y|=|x|\left(e^{-\frac{1}{|x|}}-1\right)
$$
Questo percorso non è saltato fuori dal cappello di qualche mago da quattro soldi, semplicemente si vuole far in modo che $|x|+|y|$ sia uguale a $e^{qualcosa}$ dove $qualcosa$ deve tendere a meno infinito per far si che $e^{qualcosa}$ tenda a zero proprio come farebbe la cara coppietta iniziale $|x|+|y|$
Ora non ti resta altro che sostituire e verificare che il limite non esiste, oppure tende a più infinito dipende se stai studiando il limite del modulo o il limite nudo e crudo, che poi alla fine è la stessa cosa, uno vale l'altro per verificare o smentire la differenziabilità o la continuità di una funzione in un punto.
Per quanto riguarda l'origine questo è quanto, ora non ti resta che discutere la differenziabilità nel resto del piano, ma te la cavi "in fretta" non ti resta che romperti di brutto a calcolare le derivate parziali(una in realtà perché la funzione è simmetrica) e verificare se sono continue oppure no nel resto del piano... buona fortuna.
Prima di tutto verifichiamo che i limiti direzionali lungo gli assi sono nulli e poiché il grado del numeratore è di poco maggiore rispetto al denominatore, e non vi sono somme o sottrazioni sospette ci viene istintivo cercare di dimostrare che la funzione è continua nell'origine, perciò cerchiamo di dimostrare il seguente limite
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\left|\frac{xy\log(|x|+|y|)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|=0
$$
Questo limite si risolve banalmente passando in coordinate polari; abbiamo dunque che l'argomento del limite in coordinate polari diventa:
$$
\left|\frac{\rho^2\cos\theta\sin\theta\log(\rho(|\cos\theta|+|\sin\theta|)}{\rho}\right|=\frac{\rho^2|\cos\theta||\sin\theta|\left|\log(\rho(|\cos\theta|+|\sin\theta|)\right|}{\rho}
$$
Con le dovute semplificazioni ed utilizzando le proprietà dei logaritmi otteniamo che la precedente espressione diventa:
$$
\rho|\cos\theta||\sin\theta|\left|\log(\rho)+\log(|\cos\theta|+|\sin\theta|)\right|\leq\rho|\log(\rho)|+\rho|\log(|\cos\theta|+|\sin\theta|)|
$$
dove abbiamo semplicemente applicato la disuguaglianza triangolare e la limitatezza delle funzioni trigonometriche, ovvero che $|\cos\theta|\leq 1$ e che $|\sin\theta|\leq 1$ .
A questo punto non ci resta altro che notare che la funzione $g(\theta)=|\cos\theta|+|\sin\theta|$ definita su tutti reali, è una funzione sempre positiva e limitata, più precisamente è immediato notare che $1\le g(\theta)\le \sqrt{2}$ perciò il logaritmo naturale di tale funzione è anch'esso una funzione limitata, più precisamente si ha che $0\le \log(g(\theta))\le \log(\sqrt{2})$ perciò a maggior ragione il logaritmo è compreso fra $- \log(\sqrt{2})\le \log(g(\theta))\le \log(\sqrt{2})$ il che significa che $|\log(g(\theta))|\leq \log(\sqrt{2})$ .
Grazie a questa disequazione otteniamo che :
$$
\rho|\log(\rho)|+\rho|\log(|\cos\theta|+|\sin\theta|)|\leq\rho|\log(\rho)|+\rho\log(\sqrt{2})\to 0
$$
che chiaramente tende a zero per $\rho\to 0$ e poiché siamo riusciti a maggiorare il limite iniziale con una funzione che non dipende da $\theta$ allora il limite tende a zero uniformemente rispetto a $\rho$ , il che ci garantisce che il limite iniziale sia nullo, da cui la continuità nell'origine.
Per quanto riguarda la differenziabilità, la prima cosa da fare è calcolare il valore delle derivate parziali nell'origine.
Per fare ciò risulta più intelligente e rapido calcolare le derivate parziali con la definizione, invece che con le regole del calcolo.
Proviamo a calcolare la derivata parziale rispetto ad $y$ nell'origine, ovvero calcolare il limite :
$$
\lim_{y\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=\lim_{y\to 0}\frac{0-0}{y}=0
$$
e lo stesso dicasi per la derivata parziale rispetto ad $x$, per cui il gradiente di $f$ nell'origine se esiste corrisponde al vettore nullo, cioè $\nabla_f(0,0)=(0,0)$. Questo ci semplifica tremendamente la vita perché per verificare o smentire la differenziabilità dobbiamo dimostrare se è vero oppure no il seguente limite:
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-\nabla_f(0,0)\cdot (x,y)}{||(x,y)||}=0
$$
poiché il l'operatore lineare è nullo il prodotto scalare sarà nullo, inoltre la funzione è nulla per definizione nell'origine, quindi il limite da calcolare si riduce a
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy\log(|x|+|y|)}{||(x,y)||\sqrt{x^2+y^2}}
$$
in questo caso fra tutte le norme che potremmo scegliere ci viene molto comodo scegliere la norma euclidea ottenendo :
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy\log(|x|+|y|)}{x^2+y^2}
$$
A questo punto meditiamo sull'argomento... dopo un po' di rilassante yoga ed aver raggiunto l'illuminazione divina ed esserci elevati spiritualmente procediamo col calcolo fiduciosi che il limite non esista, se non siamo fiduciosi possiamo picchiare la testa contro una roccia acuminata sperando di non sopravvivere...
Non ci resta dunque che trovare una strada che faccia al caso nostro... L'obbiettivo è quello di mandare alle cozze quel dannato logaritmo in modo che possa mostrare il suo meschino comportamento, per fare ciò scegliamo una strada a prima vista bizzarra ovvero
$$
|y|=|x|\left(e^{-\frac{1}{|x|}}-1\right)
$$
Questo percorso non è saltato fuori dal cappello di qualche mago da quattro soldi, semplicemente si vuole far in modo che $|x|+|y|$ sia uguale a $e^{qualcosa}$ dove $qualcosa$ deve tendere a meno infinito per far si che $e^{qualcosa}$ tenda a zero proprio come farebbe la cara coppietta iniziale $|x|+|y|$
Ora non ti resta altro che sostituire e verificare che il limite non esiste, oppure tende a più infinito dipende se stai studiando il limite del modulo o il limite nudo e crudo, che poi alla fine è la stessa cosa, uno vale l'altro per verificare o smentire la differenziabilità o la continuità di una funzione in un punto.
Per quanto riguarda l'origine questo è quanto, ora non ti resta che discutere la differenziabilità nel resto del piano, ma te la cavi "in fretta" non ti resta che romperti di brutto a calcolare le derivate parziali(una in realtà perché la funzione è simmetrica) e verificare se sono continue oppure no nel resto del piano... buona fortuna.
ok grazie
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