Studiare una funzione con valore assoluto
Ciao a tutti ragazzi 
oggi sono alle prese con un esercizio un pò amaro che non riesco a risolvere completamente, se avete tempo di leggerlo e di aiutarmi a capire se ho fatto errori concettuali o algebrici in qualche passaggio e di completare l'esercizio vi sarei davvero grato 
Studiare la funzione: \(\displaystyle f (x)=x e^{\left| x\right| } (\log(x+3) ) \)
DOMINIO: L'argomento del logaritmo è >0 quindi \(\displaystyle x+3>0 \) allora il Dominio è \(\displaystyle D f=\{x>-3,x\in \mathbb{R}\} \)
SEGNO DELLA FUNZIONE: pongo
\(\displaystyle x > 0 \)
\(\displaystyle e^{\left| x\right| } >0 \) vero per ogni \(\displaystyle [x\in \mathbb{R}] \)
\(\displaystyle \ln(x+3) >0 \Rightarrow x>-2 \)
la funzione è POSITIVA per \(\displaystyle x<-2\lor x>0 \)
INTERSEZIONE CON GLI ASSI:
pongo prima x=0 per trovare le intersezioni con l'asse y di f(x) e successivamente y=0 per trovare l'intersezione di f(x) con l'asse delle ascisse. Trovo quindi due punti P1(0,0) e P2(-2,0) di intersezione congli assi.
ASINTOTI:
\(\displaystyle \left(x e^{\left| x\right| } ( \log(x+3) )\right) \lim_{x\to \infty } =\infty \)
ricordando che
\(\displaystyle \left| x\right| =
\begin{array}{cc}
\{ &
\begin{array}{cc}
x & x\geq 0 \\
-x & x < 0 \\
\end{array}
\\
\end{array} \)
nel limite precedente ho posto \(\displaystyle e^{\left| x\right| }=e^x \) per \(\displaystyle x\geq 0 \) dato che il limite di x -> +infinito
quindi non ci sono asintoti orizzontali
\(\displaystyle \lim_{x\to (-3)^+} \left(x e^{\left| x\right| } (\log (3+x))\right)=\infty \)
quindi x=-3 è asintoto verticale
poi calcolo i limiti per x->-2 e x->0 ma non sono asintoti
poi calcolo la derivata di f(x) per lo studio della monotonia e della continuità della derivata:
\(\displaystyle \frac{d}{x d} x e^{\left| x\right| } (\log (3+x))=e^{\left| x\right| } \left(\frac{x^2 ( \log(x+3) )}{\left| x\right| }+\frac{x}{x+3}+(x+3) \log \right) \)
ricordando che
\(\displaystyle \left| x\right| =
\begin{array}{cc}
\{ &
\begin{array}{cc}
x & x\geq 0 \\
-x & x< 0 \\
\end{array}
\\
\end{array} \)
calcolo i limiti per x->0 da destra e da sinistra
\(\displaystyle \frac{\lim_{x\to 0^+} \left(e^x \left(\left(x^2+4 x+3\right) (\log (x+3))+x\right)\right)}{x+3}=3 \log \)
\(\displaystyle \frac{\lim_{x\to 0^-} \left(e^{-x} \left(x-\left(x^2+2 x-3\right) (\log (x+3))\right)\right)}{x+3}=3 \log \)
x=0 non è un punto angoloso e la derivata è continua.
fin qui volevo sapere se era tutto ok, se ho fatto qualche passaggio di troppo o di meno potreste segnalarmelo gentilmente
per ultimo dovrei fare lo studio della monotonia, ovvero f'(x) >0 ma ad un certo punto mi blocco con i calcoli perchè c'è una x di troppo che non capisco come separare
cioè non riesco a risolvere:
\(\displaystyle e^{\left| x\right| } \left(\frac{x^2 (\log (x+3))}{\left| x\right| }+\frac{x}{x+3}+ \log(x+3) \right)>0 \)
grazie in anticipo
oggi sono alle prese con un esercizio un pò amaro che non riesco a risolvere completamente, se avete tempo di leggerlo e di aiutarmi a capire se ho fatto errori concettuali o algebrici in qualche passaggio e di completare l'esercizio vi sarei davvero grato Studiare la funzione: \(\displaystyle f (x)=x e^{\left| x\right| } (\log(x+3) ) \)
DOMINIO: L'argomento del logaritmo è >0 quindi \(\displaystyle x+3>0 \) allora il Dominio è \(\displaystyle D f=\{x>-3,x\in \mathbb{R}\} \)
SEGNO DELLA FUNZIONE: pongo
\(\displaystyle x > 0 \)
\(\displaystyle e^{\left| x\right| } >0 \) vero per ogni \(\displaystyle [x\in \mathbb{R}] \)
\(\displaystyle \ln(x+3) >0 \Rightarrow x>-2 \)
la funzione è POSITIVA per \(\displaystyle x<-2\lor x>0 \)
INTERSEZIONE CON GLI ASSI:
pongo prima x=0 per trovare le intersezioni con l'asse y di f(x) e successivamente y=0 per trovare l'intersezione di f(x) con l'asse delle ascisse. Trovo quindi due punti P1(0,0) e P2(-2,0) di intersezione congli assi.
ASINTOTI:
\(\displaystyle \left(x e^{\left| x\right| } ( \log(x+3) )\right) \lim_{x\to \infty } =\infty \)
ricordando che
\(\displaystyle \left| x\right| =
\begin{array}{cc}
\{ &
\begin{array}{cc}
x & x\geq 0 \\
-x & x < 0 \\
\end{array}
\\
\end{array} \)
nel limite precedente ho posto \(\displaystyle e^{\left| x\right| }=e^x \) per \(\displaystyle x\geq 0 \) dato che il limite di x -> +infinito
quindi non ci sono asintoti orizzontali
\(\displaystyle \lim_{x\to (-3)^+} \left(x e^{\left| x\right| } (\log (3+x))\right)=\infty \)
quindi x=-3 è asintoto verticale
poi calcolo i limiti per x->-2 e x->0 ma non sono asintoti
poi calcolo la derivata di f(x) per lo studio della monotonia e della continuità della derivata:
\(\displaystyle \frac{d}{x d} x e^{\left| x\right| } (\log (3+x))=e^{\left| x\right| } \left(\frac{x^2 ( \log(x+3) )}{\left| x\right| }+\frac{x}{x+3}+(x+3) \log \right) \)
ricordando che
\(\displaystyle \left| x\right| =
\begin{array}{cc}
\{ &
\begin{array}{cc}
x & x\geq 0 \\
-x & x< 0 \\
\end{array}
\\
\end{array} \)
calcolo i limiti per x->0 da destra e da sinistra
\(\displaystyle \frac{\lim_{x\to 0^+} \left(e^x \left(\left(x^2+4 x+3\right) (\log (x+3))+x\right)\right)}{x+3}=3 \log \)
\(\displaystyle \frac{\lim_{x\to 0^-} \left(e^{-x} \left(x-\left(x^2+2 x-3\right) (\log (x+3))\right)\right)}{x+3}=3 \log \)
x=0 non è un punto angoloso e la derivata è continua.
fin qui volevo sapere se era tutto ok, se ho fatto qualche passaggio di troppo o di meno potreste segnalarmelo gentilmente
per ultimo dovrei fare lo studio della monotonia, ovvero f'(x) >0 ma ad un certo punto mi blocco con i calcoli perchè c'è una x di troppo che non capisco come separare
cioè non riesco a risolvere:
\(\displaystyle e^{\left| x\right| } \left(\frac{x^2 (\log (x+3))}{\left| x\right| }+\frac{x}{x+3}+ \log(x+3) \right)>0 \)
grazie in anticipo
Risposte
Per $ xrarr-3^+ $ si puo' dire che il limite e' $ +oo $.
I limiti per $ xrarr-2 $ et $ xrarr0 $ non sono necessari in quanto il logaritmo ha l'unico punto "problematico" in $ x=-3 $ e negli altri punti la funzione e' una combinazione di funzioni continue. ($ |x| $ e' continua in $ x=0 $.)
Per la derivata (solo riscritta con il sgn(x) per abitudine):
$ f'(x)=e^|x|[(1+xsgn(x))log(3+x)+x/(3+x)] $
si nota che per $ x>0 $ $ f'(x)>0 $ mentre per $ -3
$ f'(x)=e^-x[(1-x)log(3+x)+x/(3+x)] $ (1)
che sicuramente si annulla in un punto per il teorema di Rolle applicato a $ [-2,0] $.
Poi si potrebbe studiare graficamente (1) per trovare il suo segno...
I limiti per $ xrarr-2 $ et $ xrarr0 $ non sono necessari in quanto il logaritmo ha l'unico punto "problematico" in $ x=-3 $ e negli altri punti la funzione e' una combinazione di funzioni continue. ($ |x| $ e' continua in $ x=0 $.)
Per la derivata (solo riscritta con il sgn(x) per abitudine):
$ f'(x)=e^|x|[(1+xsgn(x))log(3+x)+x/(3+x)] $
si nota che per $ x>0 $ $ f'(x)>0 $ mentre per $ -3
$ f'(x)=e^-x[(1-x)log(3+x)+x/(3+x)] $ (1)
che sicuramente si annulla in un punto per il teorema di Rolle applicato a $ [-2,0] $.
Poi si potrebbe studiare graficamente (1) per trovare il suo segno...
ciao ostrogoto, grazie per la tua risposta innanzitutto. Il mio problema era cercare di trovare un modo algebrico per risolvere f'(x) >0, quello che mi hai dato tu è il corretto risultato. Se non chiedo troppo, potresti dirmi come svolgerla passo passo! Ti ringrazio ancora!
Veramente non ho risolto per via algebrica...
Innanzitutto ho studiato separatamente la derivata per $ x>0 $ e per $ -3
$ f'(x)=f'(x)=e^x[(1+x)log(3+x)+x/(3+x)] $
da cui si nota che tutti i termini sono positivi e quindi $ f'(x)>0 $ per $ x>0 $
Poi per $ -3
Ora non penso che questa espressione si possa risolvere algebricamente. Pero' senza calcolare nulla, applicando a f(x) il teorema di Rolle sull'intervallo [-2,0] ottengo che esiste almeno un punto in cui $ f'(x)=0 $ in tale intervallo. Peraltro per il teorema di Weiestrass applicato sullo stesso intervallo so che in esso esiste (almeno) un punto in cui la funzione f(x) ammette il minimo. Ora non posso concludere di piu' a priori, quindi procedo disegnando $ g(x)=(3+x)log(3+x) $ e $ h(x)=-x/(1-x) $ sullo stesso grafico. [g(x) e' un grafico noto:e' il "baffetto della Nike" $ xlog(x) $ che si trova pure in fondo a tanti libri di analisi...].
Dal confronto tra g(x) et h(x) trovo che esiste un punto (uno solo!) $ -2x_0 $. Quindi $ x_0 $ e' il minimo cercato!
Innanzitutto ho studiato separatamente la derivata per $ x>0 $ e per $ -3
$ f'(x)=f'(x)=e^x[(1+x)log(3+x)+x/(3+x)] $
da cui si nota che tutti i termini sono positivi e quindi $ f'(x)>0 $ per $ x>0 $
Poi per $ -3
Ora non penso che questa espressione si possa risolvere algebricamente. Pero' senza calcolare nulla, applicando a f(x) il teorema di Rolle sull'intervallo [-2,0] ottengo che esiste almeno un punto in cui $ f'(x)=0 $ in tale intervallo. Peraltro per il teorema di Weiestrass applicato sullo stesso intervallo so che in esso esiste (almeno) un punto in cui la funzione f(x) ammette il minimo. Ora non posso concludere di piu' a priori, quindi procedo disegnando $ g(x)=(3+x)log(3+x) $ e $ h(x)=-x/(1-x) $ sullo stesso grafico. [g(x) e' un grafico noto:e' il "baffetto della Nike" $ xlog(x) $ che si trova pure in fondo a tanti libri di analisi...].
Dal confronto tra g(x) et h(x) trovo che esiste un punto (uno solo!) $ -2
uao, grazie mille sei stato molto chiaro 
ciao!
ciao!
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo