Studiare una curva e disegnarne il supporto
Ciao a tutti. Ogni volta che mi viene chiesto di disegnare il supporto di una curva non sono mai sicuro di quello che c'è da fare. Prima cercherò di dirvi che idea mi sono fatto del procedimento per farlo, dopo passerò ad un esempio pratico.
Dunque per disegnare il supporto io:
1) studio la regolarità della curva e vedo se è chiusa o semplice
2) calcolo il campo tangente unitario $T(t)$. Qui il primo dubbio: da quello che ho capito il campo tangente unitario è il versore parallelo alla retta tangente alla curva, ma in che modo mi aiuta a disegnarla? Intendo proprio quando arriva il momento di disegnare il grafico sul foglio
3) calcolo i limiti destro e sinistro del campo tangente unitario
4) cerco di disegnare la curva calcolando magari i punti $\gamma (0)$ e $\gamma (L)$.
Questo è quanto. Il procedimento che seguo va bene? Manca qualcosa? Vediamo un esempio pratico.
Consideriamo la curva piana $\gamma : (0,\infty)\to\mathbb{R}$
E' facile dimostrare che $\gamma$ è semplice ed è regolare per $x \ne 1$. Il campo tangente unitario è
$T(t) = \frac{\dot{\gamma}(t)}{|\dot{\gamma}(t)|} = \frac{(t^2 - 1, \frac{2logt}{t})}{\sqrt{(t^2 - 1)^2 + \frac{4log^2t}{t^2}}$
e si ha
$\lim_{t\to1^{+}} T(t) = (1,1)$ e $\lim_{t\to1^{-}} T(t) = (-1,-1)$
A questo punto, per disegnare il supporto, devo fare una parametrizzazione e cercare di esprimerla in coordinate cartesiane?
Grazie a tutti.
Dunque per disegnare il supporto io:
1) studio la regolarità della curva e vedo se è chiusa o semplice
2) calcolo il campo tangente unitario $T(t)$. Qui il primo dubbio: da quello che ho capito il campo tangente unitario è il versore parallelo alla retta tangente alla curva, ma in che modo mi aiuta a disegnarla? Intendo proprio quando arriva il momento di disegnare il grafico sul foglio
3) calcolo i limiti destro e sinistro del campo tangente unitario
4) cerco di disegnare la curva calcolando magari i punti $\gamma (0)$ e $\gamma (L)$.
Questo è quanto. Il procedimento che seguo va bene? Manca qualcosa? Vediamo un esempio pratico.
Consideriamo la curva piana $\gamma : (0,\infty)\to\mathbb{R}$
$\gamma (t) = (\frac{t^3}{3}-t, (logt)^2)$ con $t>0$
E' facile dimostrare che $\gamma$ è semplice ed è regolare per $x \ne 1$. Il campo tangente unitario è
$T(t) = \frac{\dot{\gamma}(t)}{|\dot{\gamma}(t)|} = \frac{(t^2 - 1, \frac{2logt}{t})}{\sqrt{(t^2 - 1)^2 + \frac{4log^2t}{t^2}}$
e si ha
$\lim_{t\to1^{+}} T(t) = (1,1)$ e $\lim_{t\to1^{-}} T(t) = (-1,-1)$
A questo punto, per disegnare il supporto, devo fare una parametrizzazione e cercare di esprimerla in coordinate cartesiane?
Grazie a tutti.
Risposte
Per disegnare il supporto, nota che la relazione $y=\log^2 t$ è invertibile per $0=1$] e che la sua inversa è $t=e^(-sqrt(y))$ [risp. $t=e^(sqrt(y))$]; sostituendo tale relazione in $x=t^3/3 - t$ si ottiene $x=g(y)$ [risp. $x=h(y)$ ] con $y>=0$. Perciò il sostegno di $gamma$ è l'unione Delle curve-grafico Delle funzioni $y\mapsto g(y)$ ed $y\mapsto h(y)$, che si tracciano facendo uno studio di funzione.
Attenzione, però, al fatto che $y$ ha qui il ruolo di variabile indipendente!
Attenzione, però, al fatto che $y$ ha qui il ruolo di variabile indipendente!
Grazie mille per la risposta. Ma parlando in generale a proposito del campo tangente unitario, sapresti dirmi in che modo aiuta a disegnare la curva?
A parte rari e fortunati casi, conoscere il campo dei versori tangenti a me non è mai servito a granché nel disegno del sostegno.
L'unica informazione che la conoscenza del campo fornisce è la presenza o meno di punti singolari.
L'unica informazione che la conoscenza del campo fornisce è la presenza o meno di punti singolari.
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