Studiare un limite con la definizione

[Doroddo]

Studiare il seguente limite utilizzando la definizione:
$lim_(x->- infty)(7-2 sqrt(-x))/(14 sqrt(abs(x)))$
Per prima cosa trovo il valore del limite e, anche ad occhio, per confronto fra infiniti, vedo che il limite vale: $-2/14 = -1/7$
Ora sfrutto la definizione ed imposto la disequazione con l'intento di ricavare $x$:
$abs((7-2 sqrt(-x))/(14 sqrt(abs(x))) - (-1/7)) <= \epsilon$
$rArr$
$abs((7 - 2 sqrt(-x) +2 sqrt(abs(x)))/(14 sqrt(abs(x)))) <= \epsilon$
A questo punto non saprei più come proseguire, non so come trattare il valore assoluto a denominatore e quel $sqrt(-x)$, qualcuno può aiutarmi? Vi ringrazio.

[quantunquemente]

siccome stai andando a $-infty$,$|x|=-x$
quindi,,nell'ultima espressione al numeratore hai solo $7$

[Doroddo]

Ok, dunque ottengo:
$abs( 7 / (14 sqrt(-x)))<= \epsilon$
ovvero
$abs( 1 / (2 sqrt(-x)))<= \epsilon$
a questo punto, assumendo che $1/2$ è comunque sempre positivo posso riscrivere la disequazione in questo modo (credo!):
$1/(2 abs(sqrt(-x))) <= \epsilon$
ora moltiplico entrambi i membri per $abs(sqrt(-x))$ che è positivo (dato il valore assoluto), per cui il segno della disequazione rimane invariato e diventa:
$1/2 <= \epsilon abs(sqrt(-x))$
$rArr$
$1/(2 \epsilon) <= abs(sqrt(-x))$
Ora come ricavo $x$ visto che c'è il valore assoluto?

[quantunquemente]

$-xgeq1/(4epsilon^2)$
$x leq -1/(4epsilon^2)$

[Doroddo]

Deduco che tu abbia tolto il valore assoluto e poi elevato tutto al quadrato per togliere la radice, i calcoli mi tornano ma con quale giustificazione hai tolto il valore assoluto?

[quantunquemente]

$sqrt(-x)$ è già di per sè positiva
quindi,il suo valore assoluto è essa stessa

ancora più in generale,da $|a|>b $,con $bgeq0$ ,è lecito dire $a^2geq b^2$

[Doroddo]

Perché $sqrt(-x)$ è positiva? A me la cosa sembrava strana perché qua il radicando è negativo e in teoria la radice non è definita, ma credo che sia definita per il semplice fatto che stiamo parlando di limiti e soprattutto perché tende a $-infty$.
Scusa se sono pesante ma m'interessa particolarmente capire come mai sia positiva, è positiva perché il segno della radice è positivo?

[axpgn]

Guarda che se $x\ =>\ -infty$ allora $-x\ =>\ +infty$ ... e comunque la radice quadrata è sempre positiva per definizione ...