Studiare l'integrabilità della funzione in [0,1] al variare di a>0

[francomorelli95]

$(x-a)/(x^a(x-1)^(2a))$
aiutatemi, devo studiare l'integrabilità della funzione in [0,1] al variare di a>0

[Brancaleone1]

$int_0^1 (x-a)/(x^a(x-1)^(2a))text(d)x$

Ciao franck e benvenuto
Devi postare un tuo tentativo/ragionamento o non possiamo aiutarti. Cosa puoi dire di questo integrale improprio?

[francomorelli95]

grazie del benvenuto...riguardo l'integrale credo che
devo fare il confronto con l'infinito campione

A seconda dell'ordine di infinito posso stabile se é integrabile o meno in maniera impropria

[Brancaleone1]

Ok, ci siamo.
La prima cosa da fare è verificare il dominio dell'integranda, che vedi bene è definita in tutto $RR$ tranne nei punti di integrazione: quindi la cosa più semplice da fare è calcolare i limiti su questi punti, ossia

$lim_(x->0^+) (x-a)/(x^a(x-1)^(2a))$

$lim_(x->1^-) (x-a)/(x^a(x-1)^(2a))$

Cominciamo a studiare il caso $x->0^+$: se il limite tende a una costante oppure a $pm oo$ con un ordine inferiore a 1 allora l'integrale converge, altrimenti diverge. Per quali valori di $a$ l'integrale converge in $x_0=0$?

Si passa poi al caso $x->1^-$: per quali valori di $a$ l'integrale converge in $x_1=1$?

[francomorelli95]

grazie per la spiegazione ma non riesco a capire come calcolare i limiti a 0+ e a 1- avendo il parametro

[Brancaleone1]

Guarda qui per un esempio

[francomorelli95]

ok grazie

[francomorelli95]

scusate, sono tornato all'integrale di sopra, ho notato (correggetemi se sbaglio) che per x->0+ converge se a<1/2.......ma non riesco a calcolare per x->1....potete aiutarmi?