Studiare la topologia
Ciao a tutti ragazzi, oggi mentre facevo un compito mi è capitata la seguente funzione.
$f(x)=ln|x+1|+sqrt(x^2-1)$
Dopo aver determinato il dominio che risulta essere $D:=(-infty , -1)U[1 , +infty[$ mi chiede di studiarne la topologia. Cosa significa esattamente? Mi basta dire che :
E' un unione di due intervalli non limitati, uno aperto e l' altro semiaperto, in questa unione il punto $-1$ è un punto di accumulazione, mentre il punto $1$ è un punto di frontiera.
Se queste considerazioni sono corrette ce ne sono altre da fare? Visto che mi chiede di studiarne la topologia devo anche dimostrare ciò che dico?
P.S.
Dubbio teorico. Lo studio della topologia si fa del dominio, non della funzione. Giusto?
$f(x)=ln|x+1|+sqrt(x^2-1)$
Dopo aver determinato il dominio che risulta essere $D:=(-infty , -1)U[1 , +infty[$ mi chiede di studiarne la topologia. Cosa significa esattamente? Mi basta dire che :
E' un unione di due intervalli non limitati, uno aperto e l' altro semiaperto, in questa unione il punto $-1$ è un punto di accumulazione, mentre il punto $1$ è un punto di frontiera.
Se queste considerazioni sono corrette ce ne sono altre da fare? Visto che mi chiede di studiarne la topologia devo anche dimostrare ciò che dico?
P.S.
Dubbio teorico. Lo studio della topologia si fa del dominio, non della funzione. Giusto?
Risposte
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Per essere esatti: \([1;+\infty[\) è un insieme chiuso: perché?
Sai studiare la connessione e la compattezza?
P.S.: Il comando LaTeX per l'unione è \cup.
Sai studiare la connessione e la compattezza?
P.S.: Il comando LaTeX per l'unione è \cup.
Mi sto preparando per l' esame di analisi matematica 1. Non so studiare la connessione e la compattezza..L' insieme $RR$ è per definizione sia chiuso che aperto, quindi nel nostro caso posso ritenere sia chiuso poiché l' estremo inferiore dell' insieme appartiene allo stesso, mentre per l' estremo superiore se $RR$ è chiuso lo sarà anche $[a,+infty[$? con $a in RR$ ?
Penso che ti debba andare a rivedere che cosa intende il\la prof. per insieme aperto e chiuso di \(\mathbb{R}\)!
Per brevità: in \(\mathbb{R}\) definisci aperti tutti gli insiemi del tipo \(]a;b[\), le loro unioni e le loro intersezioni finite; un chiuso è il complementare di un aperto, quindi \([1;+\infty[\) è chiuso perché complementare dell'aperto \(]-\infty;1[\).
Poi, cosa mi dici su \(-1\) e \(1\) in quell'insieme?
Per brevità: in \(\mathbb{R}\) definisci aperti tutti gli insiemi del tipo \(]a;b[\), le loro unioni e le loro intersezioni finite; un chiuso è il complementare di un aperto, quindi \([1;+\infty[\) è chiuso perché complementare dell'aperto \(]-\infty;1[\).
Poi, cosa mi dici su \(-1\) e \(1\) in quell'insieme?
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