Studiare la Monotonia

[swanrhcp]

Salve, sto cercando di capire come studiare il segno della derivata prima (e derivata seconda) quando studio la monotonia della funzione, Avendo la funzione $ f(x)= log |x^2 - 4| + sqrt(x^2-1) $

ho derivata prima:
$ f'(x)={ ( (2x)/(x^2 - 4)+(2x)/sqrt(x^2-1) if (x<-2 ; x>2) ),((-2x)/(4-x^2) +(2x)/sqrt(x^2-1) if (-2
come faccio a studiare il segno ($f'(x)>0$) di questa equazione?? Grazie

[_prime_number]

Studialo per i due casi separati.

Paola

[swanrhcp]

Si però quello che vorrei capire è come studio questa:

$ (2x)/(x^2 - 4)+(2x)/sqrt(x^2-1) > 0 $

Se faccio tutti i calcoli esce un mostro di equazione, c'è un modo per studiare il segno senza fare i calcoli??

[_prime_number]

Intanto attention perché non hai fatto il dominio di quella funzione, ora che la guardo meglio me ne accorgo .

Paola

[swanrhcp]

Il dominio dovrebbe essere (-inf, -2) U (-2,-1] U [1, 2) U (2, inf) giusto?!

[_prime_number]

Le due condizioni da porre a sistema sono:
- argomento logaritmo strettamente maggiore di 0
- argomento radice maggiore o uguale a 0

Paola

[Gi81]

Sì, il dominio è quello che hai scritto.

"\$w@n":Si però quello che vorrei capire è come studio questa:

$ (2x)/(x^2 - 4)+(2x)/sqrt(x^2-1) > 0 $

Se faccio tutti i calcoli esce un mostro di equazione, c'è un modo per studiare il segno senza fare i calcoli??

Molto semplicemente:
1) se $x>2$ la prima frazione è positiva (perchè sia numeratore che denominatore sono positivi), e anche la seconda. Quindi la loro somma darà un numero positivo.
2) se $x< -2$ la prima frazione è negativa (numeratore negativo, denominatore positivo), idem la seconda. Quindi la loro somma darà un numero negativo.

Pertanto se $x>2$ si ha $f'(x)>0$, se $f(x)< -2$ si ha $f(x)< 0$



PS: Il tuo nickname è davvero scomodo per chi ti vuol citare
Ci ho messo un po' prima di capire che il carattere \$ del tuo nick rovina tutta la formattazione

[swanrhcp]

In pratica dovrei studiare separatamente il segno delle due frazioni??? E poi? Se non sbaglio la seconda frazione è positiva anche per x>1 giusto???

Prendendo un caso generale di funzione composta sulla quale devo studiare la monotonia, come si fa? si dividono le funzioni? Se ne studia prima una e poi l'altra e poi si uniscono le soluzioni? Insomma come ci si comporta? Questa cosa non l'ho ancora capita perchè di solito facevo tutti i calcoli prima

[Gi81]

Ho notato una cosa: la derivata della funzione è la stessa su tutto il dominio, ed è leggermente diversa da quella che hai scritto tu: è $ f'(x)= (2x)/(x^2 - 4)+x/sqrt(x^2-1) $ (tu hai messo un $2$ di troppo sul secondo numeratore)

"$w@n":Prendendo un caso generale di funzione composta sulla quale devo studiare la monotonia, come si fa? si dividono le funzioni? Se ne studia prima una e poi l'altra e poi si uniscono le soluzioni? Insomma come ci si comporta? Questa cosa non l'ho ancora capita perchè di solito facevo tutti i calcoli prima

Mi potresti fare un esempio di tale funzione? Non ho capito al 100% quello che vuoi sapere...

[swanrhcp]

Prendendo come esempio quella di sopra, come fai a dire che la funzione è crescente per $ x>2 $ ?? Non ho capito bene il ragionamento scusami Potresti spiegarmi meglio come hai studiato il segno di tutta la derivata per favore? Grazie.

$ f'(x)={ ( (2x)/(x^2 - 4)+(x)/sqrt(x^2-1) if (x<-2 ; x>2) ),((-2x)/(4-x^2) +(x)/sqrt(x^2-1) if (-2

se volessi svolgere i calcoli di questa sopra uscirebbe uno sgorbio del genere:
$ f'(x) = (2x(2sqrt(x^2-1)) + 2x(x^2-4))/((x^2-4)(2sqrt(x^2-1))) > 0 $ $ if (x<-2 ; x>2)$
e credo sia un tantino difficile risolvere, per questo vorrei imparare a calcolare la monotonia senza dover svolgere i calcoli

Prendendo un altro esempio:

$ f(x)= 2/x + log|4x-1| $

la cui derivata dovrebbe essere:

$ f'(x)={ ( -2/x^2 +4/(4x-1) if (x>1/4) ),( -2/x^2 -4/(1-4x) if (x<1/4 ; x != 0) ):} $

come faccio a studiare la monotonia di quest'ultima senza fare m.c.m e svolgere tutti i calcoli?

oppure un altro esempio che non capisco come svolgere:

$ f'(x) = (e^-(2x))(-2x) > 0 $

Grazie.

[Gi81]

Vuoi sapere come dimostrare velocemente che se $x>2$ si ha $(2x)/(x^2 - 4)+(x)/sqrt(x^2-1) >0 $?

Ho analizzato tutti i pezzi (cioè i numeratori e i denominatori di entrambe le frazioni) e ho notato che sono tutti positivi:
Infatti se $x>2$
1) $2x>0$
2) $x^2-4>0$
3) $x>0$
4) $sqrt(x^2-1) >0$

Da 1) e 2) segue che (se $x>2$) $(2x)/(x^2 - 4)>0$ (*) (perchè il quoziente di quantità positive è sempre positivo)


da 3) e 4) segue che (se $x>2$) $x/sqrt(x^2-1)>0$ (**) (idem come sopra)

Da (*) e (**) segue che se $x>2$ si ha $(2x)/(x^2 - 4)+x/sqrt(x^2-1)>0$ (perchè somma di quantità positive è positiva)

[swanrhcp]

Capito. Ritornando a un caso generale, quando abbiamo una funzione di questo tipo e si deve studiare la monotonia, senza svolgere i calcoli, si procede sempre in questo modo?

[Gi81]

Se viene tutto bene, sì
Il problema è che non sempre accade che tutti i membri sono positivi. Quindi non sempre puoi usare questo metodo

[swanrhcp]

Nel caso non siano positivi dovrebbero potersi i calcoli penso Altrimenti non ho idea di come trovare i punti di monotonia. Io ho sempre svolto i calcoli e poi studiavo il segno, però quando ti trovi davanti questo genere di disequazioni è impossibile svolgere i calcoli..

[Gi81]

Purtroppo (o per fortuna), non tutte le equazioni e disequazioni sono risolvibili con metodi elementari.
Però credo che il tuo prof. ti darà esercizi dove ciò non accade. Cioè ti troverai sempre davanti a della roba che sai risolvere.

[swanrhcp]

"Gi8":Purtroppo (o per fortuna), non tutte le equazioni e disequazioni sono risolvibili con metodi elementari.
Però credo che il tuo prof. ti darà esercizi dove ciò non accade. Cioè ti troverai sempre davanti a della roba che sai risolvere.

Sai a lezione la maggior parte delle volte faceva esercizi su funzioni 'normali' dove per calcolare la monotonia era una cavolata. Poche volte uscivano questo genere di funzioni, però erano più semplici di questa. E la settimana scorsa all'esame è uscita proprio questa funzione e non avevo idea di come risolverla Per questo vorrei imparare a farle, così al prossimo appello sono preparato all'eventualità >.<