Studiare la funzione al variare di lambda
L'esercizio è: studiare al variare del parametro reale lambda la funzione
$flambda(x)=xe^(lambdax^2)$ e tracciare il grafico
come devo iniziare? devo studiare i 3 casi $lambda=0, >0 e <0$?
precisamente devo dividere la funzione in 3 parti? mi sto confondendo, datemi una dritta please!
per $lamba=0$ la funzione diventa $Y=x$ che è la bisettrice del primo e terzo quadrante, quindi nn c'è bisogno di studiarla giusto?
$flambda(x)=xe^(lambdax^2)$ e tracciare il grafico
come devo iniziare? devo studiare i 3 casi $lambda=0, >0 e <0$?
precisamente devo dividere la funzione in 3 parti? mi sto confondendo, datemi una dritta please!
per $lamba=0$ la funzione diventa $Y=x$ che è la bisettrice del primo e terzo quadrante, quindi nn c'è bisogno di studiarla giusto?
Risposte
Allora, se $\lambda=0$, la funzione si riduce a $ f(x)=x $ no? Ora non devi considera $ \lambda<1 $ e $ \lambda >1$, ma $ \lambda < 0 $ e $ \lambda>0 $ ok?
cioè
$ f_{\lambda}(x)=xe^(|\lambda|x^2)={(x, if \lambda=0), (xe^(\lambdax^2), if \lambda >0), (xe^(-\lambdax^2), if \lambda <0) :} $
Riguardo al dominio cosa puoi dire?
cioè
$ f_{\lambda}(x)=xe^(|\lambda|x^2)={(x, if \lambda=0), (xe^(\lambdax^2), if \lambda >0), (xe^(-\lambdax^2), if \lambda <0) :} $
Riguardo al dominio cosa puoi dire?
Per ogni x appartenente ad R, fino a qui ci sono..
Per ora studio solo0$ xe^(lambdax^2)$
L'intersezione con gli assi è solo il punto $(0,0),$
f(x) è positiva per$ x>0$
$\lim_{x \to \+infty}xe^(lambdax^2)=+infty$
$\lim_{x \to \-infty}xe^(lambdax^2)=-infty$
$\lim_{x \to \+-infty}(xe^(lambdax^2))/(x)=+infty$
Non ci sn asintoti verticali,orizz o obliqui
La derivata èp $e^(lambdax^2)(1+2lambdax^2)>0$
$x^2>-1/(2lambda)$
$x<-1/(sqrt(2lambda))$ e $x>1/(sqrt(2lambda))$
ok ma nel grafico come li segno qst punti dato che c'è lambda??
L'intersezione con gli assi è solo il punto $(0,0),$
f(x) è positiva per$ x>0$
$\lim_{x \to \+infty}xe^(lambdax^2)=+infty$
$\lim_{x \to \-infty}xe^(lambdax^2)=-infty$
$\lim_{x \to \+-infty}(xe^(lambdax^2))/(x)=+infty$
Non ci sn asintoti verticali,orizz o obliqui
La derivata èp $e^(lambdax^2)(1+2lambdax^2)>0$
$x^2>-1/(2lambda)$
$x<-1/(sqrt(2lambda))$ e $x>1/(sqrt(2lambda))$
ok ma nel grafico come li segno qst punti dato che c'è lambda??
@Aliseo, non mi torna 
Così facendo, l'esponente dell'esponenziale è sempre non negativo...
Così facendo, l'esponente dell'esponenziale è sempre non negativo...
ma le funzioni le devo disegnare in tre grafici diversi o nello stesso grafico, come quelle con il valore assoluto? e soprattutto il valore di lambda come lo segno sul grafico!!!
Penso che l'esercizio non richieda di tracciare esattamente il grafico, ma di disegnare "in generale" l'andamento qualitativo della funzione.
Fai attenzione, che la derivata prima è sempre positiva, perché per ogni $ x in RR $, $ (1+2\lambdax^2)>0 $, dato che $ \lambda>0 $
Fai attenzione, che la derivata prima è sempre positiva, perché per ogni $ x in RR $, $ (1+2\lambdax^2)>0 $, dato che $ \lambda>0 $
Nel caso lamba<0
ho problemi cn i limiti
$\lim_{x \to \+infty}xe^(-lambdax^2)=xe^(-lambdax^2)/(-lambdax^2)*-lambdax^2=+infty + -infty=-infty$ per la relazione sui gradi di infinito
ma se è il $\lim_{x \to \+infty}e^(-lambdax^2)/(-lambdax^2)$viene $+ infty$ o -$infty$?
ho problemi cn i limiti
$\lim_{x \to \+infty}xe^(-lambdax^2)=xe^(-lambdax^2)/(-lambdax^2)*-lambdax^2=+infty + -infty=-infty$ per la relazione sui gradi di infinito
ma se è il $\lim_{x \to \+infty}e^(-lambdax^2)/(-lambdax^2)$viene $+ infty$ o -$infty$?
quando $\lambda<0$ ho posto il meno davanti ad $x^2$ solo per far capire che è negativo l'esponente ok? diciamo che quando $\lambda<0$ pongo $m=-\lambda$, sicché la funzione diventa $ f(x)=xe^(mx^2) $, sapendo che $m<0$ 
quando $\lambda<0$ ho posto il meno davanti ad $x^2$ solo per far capire che è negativo l'esponente ok? diciamo che quando $\lambda<0$ pongo $m=-\lambda$, sicché la funzione diventa $ f(x)=xe^(mx^2) $, sapendo che $m<0$
$D(xe^(-lambdax^2)=e^(-lambdax^2)(1-2lambdax^2)>0$ ma dato che lambda<0 allora la funzione è sempre crescente?? o avevamo scritto il - prima e non conta +??
Allora calma, procediamo con ordine:
2° caso - $\lambda < 0$
La derivata prima è $ e^(-\lambdax^2)(1-2\lambdax^2) $. Ora questa risulta essere maggiore di zero se $ 1-2\lambdax^2>0 $, cioè quando $ x^2 < 1/(2\lambda) $ e, quindi, per $ x in (-1/(\sqrt(2\lambda)), 1/(\sqrt(2\lambda))) $ ok?
2° caso - $\lambda < 0$
La derivata prima è $ e^(-\lambdax^2)(1-2\lambdax^2) $. Ora questa risulta essere maggiore di zero se $ 1-2\lambdax^2>0 $, cioè quando $ x^2 < 1/(2\lambda) $ e, quindi, per $ x in (-1/(\sqrt(2\lambda)), 1/(\sqrt(2\lambda))) $ ok?
@Aliseo
C'è un errore di notazione. Non puoi scrivere
$xe^(-\lambdax^2) if \lambda<0$
altrimenti non riusciresti a fare l'analisi per $\lambda<0$. Neanche scrivere $xe^(mx^2)$ con $m=-\lambda$ e $\lambda<0$ è corretto perchè avresti sempre un'esponente positivo.
Inoltre, nel tuo ultimo passaggio, se consideri $\lambda<0$ avrai la disequazione
$1-2\lambdax^2>0$
che è quindi sempre verificata. Praticamente stai facendo la stessa analisi del caso positivo
. Di questo te ne potevi accorgere notando che le soluzioni $x=\+-1/sqrt(2\lambda)$ non sono definite per $\lambda<0$.
Un modo corretto di procedere è quello di studiare la funzione
$xe^(\lambdax^2)$ considerando $\lambda<0$
oppure
$xe^(-|\lambda|x^2)$ considerando $\lambda<0$
C'è un errore di notazione. Non puoi scrivere
$xe^(-\lambdax^2) if \lambda<0$
altrimenti non riusciresti a fare l'analisi per $\lambda<0$. Neanche scrivere $xe^(mx^2)$ con $m=-\lambda$ e $\lambda<0$ è corretto perchè avresti sempre un'esponente positivo.
Inoltre, nel tuo ultimo passaggio, se consideri $\lambda<0$ avrai la disequazione
$1-2\lambdax^2>0$
che è quindi sempre verificata. Praticamente stai facendo la stessa analisi del caso positivo
. Di questo te ne potevi accorgere notando che le soluzioni $x=\+-1/sqrt(2\lambda)$ non sono definite per $\lambda<0$.Un modo corretto di procedere è quello di studiare la funzione
$xe^(\lambdax^2)$ considerando $\lambda<0$
oppure
$xe^(-|\lambda|x^2)$ considerando $\lambda<0$
Infatti, hai ragione @K.Lomax stavo appunto scrivendo quanto tu ora hai scritto. Il mio intento era solo far capire che nel caso di $ \lambda < 0 $ l'esponente diventa negativo.
Infatti, quando si calcola il limite $ \lim_{x \to \pm \infty} xe^(-\lambdax^2)=\lim_{x \to \pm \infty} x/(e^(\lambdax^2))$ per la gerarchia degli infiniti questo limite diventa nullo, in quanto $ e^(\lambdax^2) $ è un infinito di ordine superiore rispetto a $x$
Infatti, quando si calcola il limite $ \lim_{x \to \pm \infty} xe^(-\lambdax^2)=\lim_{x \to \pm \infty} x/(e^(\lambdax^2))$ per la gerarchia degli infiniti questo limite diventa nullo, in quanto $ e^(\lambdax^2) $ è un infinito di ordine superiore rispetto a $x$
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