Studiare la forma differenziale al variare di un parametro
Salve a tutti ho un po di dubbi relativi alle forme differenziali e soprattutto nella risoluzione di questo tipo di esercizi.
Il problema in questione è questo:
Studiare al variare del paratro $a in R$ la forma differenziale
$Wa = (2x+2a)/(x^2 + 4y^2 - 4)dx + (8y)/(x^2 + 4y^2 - 4)dy$
W è definita su $ X = {(x,y) in R^2 : x^2/4 + y^2 != 1}$ e quindi su tutto il piano meno l'ellisse di equazione $x^2/4 + y^2 = 1$.
Ponendo $(del a)/(del y) = (del b)/(del x)$, W risulta essere chiusa per $a = 0$ (ho fatto i calcoli anche con Derive ed esce lo stesso risultato).
Il problema adesso è dire se W esatta o meno. Se considero l'insieme X come unione di $X1 = {(x,y) in R^2 : x^2/4 + y^2 < 1}$ (la parte interna dell'ellisse) e $X2 = {(x,y) in R^2 : x^2/4 + y^2 > 1}$ (la parte esterna), posso dire che essendo X1 semplicemente connesso, allora W è esatta in questo insieme.
Ora però non so bene come studiare l'insieme X2 che non è semplicemente connesso. Ho provato così: ho determinato le primitive per $a = 0$ (per gli altri valori non è chiusa e quindi non può essere esatta) usando il metodo delle derivate e ho trovato $ V(x,y) = ln |x^2 + 4y^2 - 4| + c in R$ che essendo definita per ogni $(x,y) in X$ dovrebbe garantirmi l'esattezza anche su X2.
Non sono sicuro di questo e quindi volevo chiedere se ragionare così è sbagliato oppure no o anche se ci sono metodi migliori per risolvere il problema, grazie in anticipo.
Il problema in questione è questo:
Studiare al variare del paratro $a in R$ la forma differenziale
$Wa = (2x+2a)/(x^2 + 4y^2 - 4)dx + (8y)/(x^2 + 4y^2 - 4)dy$
W è definita su $ X = {(x,y) in R^2 : x^2/4 + y^2 != 1}$ e quindi su tutto il piano meno l'ellisse di equazione $x^2/4 + y^2 = 1$.
Ponendo $(del a)/(del y) = (del b)/(del x)$, W risulta essere chiusa per $a = 0$ (ho fatto i calcoli anche con Derive ed esce lo stesso risultato).
Il problema adesso è dire se W esatta o meno. Se considero l'insieme X come unione di $X1 = {(x,y) in R^2 : x^2/4 + y^2 < 1}$ (la parte interna dell'ellisse) e $X2 = {(x,y) in R^2 : x^2/4 + y^2 > 1}$ (la parte esterna), posso dire che essendo X1 semplicemente connesso, allora W è esatta in questo insieme.
Ora però non so bene come studiare l'insieme X2 che non è semplicemente connesso. Ho provato così: ho determinato le primitive per $a = 0$ (per gli altri valori non è chiusa e quindi non può essere esatta) usando il metodo delle derivate e ho trovato $ V(x,y) = ln |x^2 + 4y^2 - 4| + c in R$ che essendo definita per ogni $(x,y) in X$ dovrebbe garantirmi l'esattezza anche su X2.
Non sono sicuro di questo e quindi volevo chiedere se ragionare così è sbagliato oppure no o anche se ci sono metodi migliori per risolvere il problema, grazie in anticipo.
Risposte
Non ho verificato i tuoi calcoli, ma mi pare che la tua linea di ragionamento sia impeccabile.
Ciao,
L.
Ciao,
L.
Ma conviene esplicitare scrivendo
$V(x,y) = { ( ln(x^2 + 4y^2 - 4) + c in RR ),( ln(-x^2 - 4y^2 + 4) + c in RR):}$ rispettivamente per $x^2/4 + y^2 > 1$ e per $x^2/4 + y^2 < 1$?
$V(x,y) = { ( ln(x^2 + 4y^2 - 4) + c in RR ),( ln(-x^2 - 4y^2 + 4) + c in RR):}$ rispettivamente per $x^2/4 + y^2 > 1$ e per $x^2/4 + y^2 < 1$?
"Franzis":
Ma conviene esplicitare scrivendo
$V(x,y) = { ( ln(x^2 + 4y^2 - 4) + c in RR ),( ln(-x^2 - 4y^2 + 4) + c in RR):}$ rispettivamente per $x^2/4 + y^2 > 1$ e per $x^2/4 + y^2 < 1$?
Mi pare che quella espressione sia esplicita.
Se proprio vuoi un'unica espressione, potresti usare la funzione di Heaviside, ma non ne vedo la necessità.Ciao,
L.
Ma in definitiva è corretto dedurre dall'insieme di definizione delle primitive, i luoghi in cui la forma differenziale sarà esatta o meno?
Ad es. se considero
$W = (-y)/(x^2 + y^2)dx + (x)/(x^2 + y^2)dy$ definita in $RR^2 - {(0,0)}$ che è chiusa nel suo insieme di definizione.
calcolando le primitive viene $V(x,y) = arctan(x/y) + c in RR$ e allora concludo che W sarà esatta in $RR^2 - {(x,y) in RR^2: y = 0}$ cioè nel semipiano positivo e negativo delle ascisse.
I calcoli dovrebbero essere corretti ma come prima mi interessa il parere sul procedimento. Dovrebbe essere giusto poichè ho provato a calcolare una circuitazione per una circonferenza di centro (2,0) e raggio 1(quindi nel semipiano positivo delle ascisse) e viene 0 e ho fatto lo stesso per una circonferenza di centro (0,3) e raggio 1 ed è venuto diverso da 0 come c'era da aspettarsi.
Adesso mi chiedo se questo ragionamento va bene sempre o è stato solo un colpo di fortuna per questo esempio.
Ad es. se considero
$W = (-y)/(x^2 + y^2)dx + (x)/(x^2 + y^2)dy$ definita in $RR^2 - {(0,0)}$ che è chiusa nel suo insieme di definizione.
calcolando le primitive viene $V(x,y) = arctan(x/y) + c in RR$ e allora concludo che W sarà esatta in $RR^2 - {(x,y) in RR^2: y = 0}$ cioè nel semipiano positivo e negativo delle ascisse.
I calcoli dovrebbero essere corretti ma come prima mi interessa il parere sul procedimento. Dovrebbe essere giusto poichè ho provato a calcolare una circuitazione per una circonferenza di centro (2,0) e raggio 1(quindi nel semipiano positivo delle ascisse) e viene 0 e ho fatto lo stesso per una circonferenza di centro (0,3) e raggio 1 ed è venuto diverso da 0 come c'era da aspettarsi.
Adesso mi chiedo se questo ragionamento va bene sempre o è stato solo un colpo di fortuna per questo esempio.
"Franzis":
Ma in definitiva è corretto dedurre dall'insieme di definizione delle primitive, i luoghi in cui la forma differenziale sarà esatta o meno?
Ad es. se considero
$W = (-y)/(x^2 + y^2)dx + (x)/(x^2 + y^2)dy$ definita in $RR^2 - {(0,0)}$ che è chiusa nel suo insieme di definizione.
calcolando le primitive viene $V(x,y) = arctan(x/y) + c in RR$ e allora concludo che W sarà esatta in $RR^2 - {(x,y) in RR^2: y = 0}$ cioè nel semipiano positivo e negativo delle ascisse.
I calcoli dovrebbero essere corretti ma come prima mi interessa il parere sul procedimento. Dovrebbe essere giusto poichè ho provato a calcolare una circuitazione per una circonferenza di centro (2,0) e raggio 1(quindi nel semipiano positivo delle ascisse) e viene 0 e ho fatto lo stesso per una circonferenza di centro (0,3) e raggio 1 ed è venuto diverso da 0 come c'era da aspettarsi.
Adesso mi chiedo se questo ragionamento va bene sempre o è stato solo un colpo di fortuna per questo esempio.
La 1-forma che hai scritto non è esatta nel suo insieme di definizione. Ciò posto, essa è esatta in altri domini, per esempio nel piano privato di una semiretta per l'origine. Lì c'è un potenziale. Una volta che l'hai trovato (con la tecnica di utilizzare un cammino "opportuno"), sei a posto.
Ciao,
L.
rileggendo meglio credo di aver scritto delle stupidaggini 
Che la 1-forma che ho scritto non è esatta nel suo insieme di definizione è appurato. Però sinceramente non ho capito perchè è esatta ad esempio nel piano privato di una semiretta per l'origine...
Primo ho sbagliato poichè ho considerato y=0 come l'asse delle ordinate... in realtà la funzione delle primitive $V(x,y)$ è definita nel semipiano positivo e negativo delle ordinate...
Adesso però non riesco proprio a capire come ho avuto quei risultati. Com'è possibile che la circuitazione viene 0 là dove la forma differenziale non dovrebbe essere esatta? Cioè ad es. per una circonferenza di centro(2,0) e raggio 1.
Deduco che sto ragionando in maniera sbagliata..
Che la 1-forma che ho scritto non è esatta nel suo insieme di definizione è appurato. Però sinceramente non ho capito perchè è esatta ad esempio nel piano privato di una semiretta per l'origine...
Primo ho sbagliato poichè ho considerato y=0 come l'asse delle ordinate... in realtà la funzione delle primitive $V(x,y)$ è definita nel semipiano positivo e negativo delle ordinate...
Adesso però non riesco proprio a capire come ho avuto quei risultati. Com'è possibile che la circuitazione viene 0 là dove la forma differenziale non dovrebbe essere esatta? Cioè ad es. per una circonferenza di centro(2,0) e raggio 1.
Deduco che sto ragionando in maniera sbagliata..
"Franzis":
rileggendo meglio credo di aver scritto delle stupidaggini
Che la 1-forma che ho scritto non è esatta nel suo insieme di definizione è appurato. Però sinceramente non ho capito perchè è esatta ad esempio nel piano privato di una semiretta per l'origine...
Non ho fatto i calcoli, come ti dicevo. Però, in generale, in un dominio semplicemente connesso una 1-forma è esatta se e solo se è chiusa. Puoi applicare questo fatto al caso che hai davanti: la 1-forma è chiusa, giusto? bene, scegli un dominio semplicemente connesso: lì sarà anche esatta.
Ciao,
L.
e in questo caso risulta chiusa... la forma non è esatta nel suo insieme di definizione ma a me interessa sapere in quali insieme invece lo è.
Allora avevo pensato di dedurlo calcolando le primitive e vedere in quali insiemi risultano definite... ma non so se questo ragionamento è corretto.
Allora avevo pensato di dedurlo calcolando le primitive e vedere in quali insiemi risultano definite... ma non so se questo ragionamento è corretto.
"Franzis":
e in questo caso risulta chiusa... la forma non è esatta nel suo insieme di definizione ma a me interessa sapere in quali insieme invece lo è.
La 1-forma è chiusa: quindi è esatta in tutti i domini del piano semplicemente connessi. Se prendi un dominio non semplicemente connesso, le cose si complicano. La 1-forma potrebbe non essere esatta, pur essendo chiusa. Se sei in un dominio non s.c., per provare l'esattezza dalla forma hai diverse strade: provare che esiste una primitiva, oppure provare che l'integrale lungo ogni ciclo contenuto nel dominio è nullo.
Ciao,
L.
Ma scusa come faccio a provare che l'integrale lungo ogni curva(chiusa e semplice) è nullo?
Credo che sia più fattibile provare che esiste una primitiva, come posso fare?
Credo che sia più fattibile provare che esiste una primitiva, come posso fare?
"Franzis":
Ma scusa come faccio a provare che l'integrale lungo ogni curva(chiusa e semplice) è nullo?
Credo che sia più fattibile provare che esiste una primitiva, come posso fare?
In effetti, provare che una 1-forma non è esatta è facile; provare che una 1-forma in un dominio s.c. è esatta anche. Ma provare che una 1-forma chiusa in un dominio non s.c connesso è anche esatta non è facile. L'unica è esibire una primitiva, e questo non è in generale facile.
Ciao,
L.
ma quindi è sbagliato il ragionamento che facevo prima e cioè di provare a determinare le primitive (in questo caso è uscito $V(x,y) = -arctan(x/y) + c in RR$ che dovrebbe essere corretto poichè l'ho fatto con Derive e rispetta anche la definizione di forma differenziale esatta in quanto dV = W) e concludere che è esatta per $y!=0$?
"Franzis":
ma quindi è sbagliato il ragionamento che facevo prima e cioè di provare a determinare le primitive (in questo caso è uscito $V(x,y) = -arctan(x/y) + c in RR$ che dovrebbe essere corretto poichè l'ho fatto con Derive e rispetta anche la definizione di forma differenziale esatta in quanto dV = W) e concludere che è esatta per $y!=0$?
Allora, comincio col dire che quella forma non è esatta, e su questo non ci sono dubbi. Poi, il metodo da usare per trovare se una forma è definita è molto semplice:
guardi in quali punti la FORMA DIFFERENZIALE non è definità, in questo caso in (0,0). Allora ti fai un bell' integrale di quella forma diff. con una curva chiusa (la più semplice è $\gamma = (cos(t), sen(t))$) e se ti viene zero, allora la forma diff è esatta anche in quel punto anomalo. ok ?
EDIT: per evitare equivoci, intendo l' integrale $\int_{\gamma}
ok. Però penso che questo valga solo se la forma differenziale non è definita in un solo punto...
Ad es. nel primo esercizio che ho scritto, $w(x,y)$ è definita su $RR^2$ meno l'ellisse di equazione $x^2/4 + y^2 = 1$.
E allora in questo caso come faccio a dire che è esatta anche nella parte al di sopra dell'ellisse che non è un insieme semplicemente connesso?
Ad es. nel primo esercizio che ho scritto, $w(x,y)$ è definita su $RR^2$ meno l'ellisse di equazione $x^2/4 + y^2 = 1$.
E allora in questo caso come faccio a dire che è esatta anche nella parte al di sopra dell'ellisse che non è un insieme semplicemente connesso?
"Franzis":
ok. Però penso che questo valga solo se la forma differenziale non è definita in un solo punto...
Ad es. nel primo esercizio che ho scritto, $w(x,y)$ è definita su $RR^2$ meno l'ellisse di equazione $x^2/4 + y^2 = 1$.
E allora in questo caso come faccio a dire che è esatta anche nella parte al di sopra dell'ellisse che non è un insieme semplicemente connesso?
Dovrei controllare meglio, comunque credo che con quel metodo tu possa prendere dentro tutti i punti in cui non è definita in un unico colpo. Cioè prendere un cerchio che racchiuda quell' ellisse. Ma ripeto, non sono sicuro..
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