Studiare la convergenza di una serie
Salve a tutti.
Avrei una domanda su un esercizio. Data la serie $\sum_{n=0}^\infty $($n^2$ +1)/($e^n$+1)$
Studiarne il comportamento. Ora per prima cosa notiamo che è una serie a termini costanti e poisitivi quindi diverge o converge (non può essere oscillante). Anadiamo a fare il limite $\lim_{n \to \infty} $($n^2$ +1)/($e^n$+1)$
in modo da verificare se vale la condizione necessaria affinchè la serie sia convergente. Il risultato del limite è 0, quindi la condizione è soddisfatta, ma non basta, non ho ancora dimostrato la convergenza o la divergenza. A questo punto posso o studiare direttamente il comportamento della serie o studiare il comportamento della serie del valore assoluto in modo da individuare se la serie è assolutamente convergente e quindi convergente.
Per questo tipo di serie quale criterio è più opportuno utilizzare per studiarla?
Criterio del confronto, della radice, dell'ordine di infinitesimo o del rapporto? Tralasciando gli altri esistenti.
Grazie a chi risponderà.
Avrei una domanda su un esercizio. Data la serie $\sum_{n=0}^\infty $($n^2$ +1)/($e^n$+1)$
Studiarne il comportamento. Ora per prima cosa notiamo che è una serie a termini costanti e poisitivi quindi diverge o converge (non può essere oscillante). Anadiamo a fare il limite $\lim_{n \to \infty} $($n^2$ +1)/($e^n$+1)$
in modo da verificare se vale la condizione necessaria affinchè la serie sia convergente. Il risultato del limite è 0, quindi la condizione è soddisfatta, ma non basta, non ho ancora dimostrato la convergenza o la divergenza. A questo punto posso o studiare direttamente il comportamento della serie o studiare il comportamento della serie del valore assoluto in modo da individuare se la serie è assolutamente convergente e quindi convergente.
Per questo tipo di serie quale criterio è più opportuno utilizzare per studiarla?
Criterio del confronto, della radice, dell'ordine di infinitesimo o del rapporto? Tralasciando gli altri esistenti.
Grazie a chi risponderà.
Risposte
Prova a usarne uno e vedi che succede.
Prova con il criterio della radice.
P.S.: cosa intendi con serie a termini costanti?
Prova con il criterio della radice.
P.S.: cosa intendi con serie a termini costanti?
Io inizierei col criterio del rapporto, mi sembra quello più facile da utilizzare. Prova un po' 
"krek":
Prova a usarne uno e vedi che succede.
Prova con il criterio della radice.
Nel caso non sapessi come procedere, tieni a mente che
$lim_{n->oo} \root{n}{n^\alpha} = 1$ per $\alpha in RR$
Intendevo termini a segno costante, mi sono scordato un pezzo scusate, comunque ok provero entrambe i criteri del rapporto e della radice.
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