Studiare la convergenza di un integrale...con taylor

[smaug1]

$\int_0^oo \frac{2x + \sin (x^b)}{e^x - \cos (x^b)}$ con $b>=0$

A $+ oo$ non ci sono problemi perchè l'integrale non diverge? infatti il $\cos$ ed il $\sin$ sono funzioni limitate e ciò che importa è il rapporto tra $2x$ e l'esponenziale...il limite è $zero$ quindi converge...giusto? Per $x->0^+$ abbiamo:

$\int \frac{2x + x^b}{x + 1/2 x^{2b}}$ ad esempio se $b>1$ nella funzione vanno presi i temini di grado inferiore giusto?

quindi $f(x) \sim (2x) / x = 2$ quindi converge?

[ciampax]

Ma $b>0$? Perché se può essere pure $b<0$ le cose cambiano e non poco.

[smaug1]

"ciampax":Ma $b>0$? Perché se può essere pure $b<0$ le cose cambiano e non poco.

scusami se non l'ho specificato, si $b >= 0$

Ciampax io non ho capito come le cose cambiano se $b$ ad esempio è reale...ho postato un integrale oggi in quel modo... ma qui quello che ho scritto è giusto?

[ciampax]

Ok, se $b\ge 0$ le cose funzionano abbastanza bene come hai detto: per $x\to+\infty$, a causa della limitatezza delle funzioni seno e coseno si ha che la funzione integranda si comporta come ${2x}/e^x$ il cui integrale converge (lo vedi subito calcolandolo, ad esempio). Quando invece $x\to 0^+$ le cose sono un poco più complesse: la funzione è asintotica alla seguente

${2x+x^b}/{x+x^{2b}/2}=2\cdot {2x+x^b}/{2x+x^{2b}}=g(x)$

Ora, a seconda del valore di $b$ le cose cambiano: poiché devi scegliere gli esponenti "minori" a numeratore e denominatore, dovrai considerare i casi in cui $b\ge 1$ e $2\b\ge 1$. In breve, quello che accade è quanto segue:

se $b> 1$ allora $g(x)\sim 2\cdot {2x}/{2x}=2$ e l'integrale converge
se $b=1$ allora $g(x)\sim 2\cdot{3x}/{2x}=3$ e ancora l'integrale converge
se $1/2< b<1$ allora $g(x)\sim 2\cdot {x^b}/{2x}=1/{x^{1-b}}$ ed essendo $0<1-b<1/2$ l'integrale converge
se $b=1/2$ allora $g(x)\sim 2\cdot {x^{1/2}}/{3x}=2/{3x^{1/2}}$ e l'integrale converge
se $0 se $b=0$ la funzione diventa ${2x}/{e^x-1}\sim 2$ e quindi l'integrale converge.

[smaug1]

Molto molto chiaro, l'esercizio l'avevo impostato abbastanza bene, solo una cosa, hai scritto che sono da considerare, giustamente, al numeratore e al denominatore, gli esponenti col grado più basso (quando $x->0$), sia al numeratore che al denominatore il grado fisso è $1$, è per questo motivo che dobbiamo studiare $2b>=1$ e $b>=1$? per farmi capire se al denominatore invece di

$=2\cdot {2x+x^b}/{2x+x^{2b}}$ avessimo avuto $=2\cdot {2x+x^b}/{2x^3+x^{2b}}$

era necessario studiare $2b >= 3$?

conosci un link dove si posso scaricare pdf su gli integrali impropri di questo tipo?

Grazie mille ciampax

[ciampax]

Sì, esatto. Sinceramente, non mi vengono in mente link.

[smaug1]

"ciampax":Sì, esatto. Sinceramente, non mi vengono in mente link.

grazie comunque, ah una cosa, se invece avessimo avuto la medesima situazione, ma con $x->oo$ cosa avresti fatto? si prendevano gli esponenti maggiore e quindi $b$ come si doveva studiare?

bella ciampax!!

[smaug1]

Una domanda, adesso rileggendo la soluzione che hai scritto vorrei chiederti se $0 < b < 1/2$ $g(x) \sim 2 / x^b$ per per $x->0^+$ dovrebbe divergere a $+ oo$ perchè invece converge?