Studiare la convergenza dell'integrale.
Ho provato a svolgere autonomamente questo integrale che mi è stato posto durante il compito di Analisi 1 ma non sono riuscito ad arrivare ad alcuna conclusione. Chiedo gentilmente la spiegazione di questo esercizio che sto provando da due giorni a capire come arrivarci da solo:
\int (from 2 to \infty) [\sin(x-2) * e^(-x)]/[(x-2)*(x-3)^(1/3)]
Sono nuovo del sito e non ho tanta dimestichezza con i simboli LaTeX. Ad ogni modo mi scuso anticipatamente per il modo orrendo di scrittura. Posto un allegato con l'esercizio. Al denominatore non è la parentesi al cubo bensì radice cubica.
Il mio primo approccio è stato quello di calcolare il limite nell'intorno di 2. Da lì, vuoto totale..ho anche rivisto la teoria ma non riesco proprio a risolverlo. Spero possiate aiutarmi, grazie mille
\int (from 2 to \infty) [\sin(x-2) * e^(-x)]/[(x-2)*(x-3)^(1/3)]
Sono nuovo del sito e non ho tanta dimestichezza con i simboli LaTeX. Ad ogni modo mi scuso anticipatamente per il modo orrendo di scrittura. Posto un allegato con l'esercizio. Al denominatore non è la parentesi al cubo bensì radice cubica.
Il mio primo approccio è stato quello di calcolare il limite nell'intorno di 2. Da lì, vuoto totale..ho anche rivisto la teoria ma non riesco proprio a risolverlo. Spero possiate aiutarmi, grazie mille
Risposte
I punti critici sono :
$x=2;x=3 ; x rarr +oo $
A) Per $x rarr 2 $ la funzione integranda è asintotica a :$(1*e^(-2))/(root(3)(-1)) = -1/(e^2)$ che è un valore finito .Quindi l'integrale converge.[ nota che per $ x rarr 2 $ si ha che $ (sen(x-2))/(x-2) rarr 1 $].
B) Per $x rarr 3 $; $f(x) ~ (sen(1)*e^(-3))/((+1)*(x-3)^(1/3)) =k/(x-3)^(1/3) $ ; essendo $ 1/3 <1 $ l'integrale converge , OK ?
C) Per $ x rarr +oo $ osserviamo che $sen(x-2 ) $ oscilla tra $ -1 , +1 $ : non ce ne preoccupiamo.
Perché la funzione sia integrabile bisogna che tenda a $0$ più rapidamente di quel che non fa $1/(x^(alpha))$ con $alpha >1 $.
Ma in questo caso $f(x) ~ k/(x*x^(1/3)*e^x) $ e quindi data la presenza dell'esponenziale a denominatore , va a $0 $ più rapidamente di qualunque potenza della $x$.Cioè $ alpha > > 1$. Quindi converge.
$x=2;x=3 ; x rarr +oo $
A) Per $x rarr 2 $ la funzione integranda è asintotica a :$(1*e^(-2))/(root(3)(-1)) = -1/(e^2)$ che è un valore finito .Quindi l'integrale converge.[ nota che per $ x rarr 2 $ si ha che $ (sen(x-2))/(x-2) rarr 1 $].
B) Per $x rarr 3 $; $f(x) ~ (sen(1)*e^(-3))/((+1)*(x-3)^(1/3)) =k/(x-3)^(1/3) $ ; essendo $ 1/3 <1 $ l'integrale converge , OK ?
C) Per $ x rarr +oo $ osserviamo che $sen(x-2 ) $ oscilla tra $ -1 , +1 $ : non ce ne preoccupiamo.
Perché la funzione sia integrabile bisogna che tenda a $0$ più rapidamente di quel che non fa $1/(x^(alpha))$ con $alpha >1 $.
Ma in questo caso $f(x) ~ k/(x*x^(1/3)*e^x) $ e quindi data la presenza dell'esponenziale a denominatore , va a $0 $ più rapidamente di qualunque potenza della $x$.Cioè $ alpha > > 1$. Quindi converge.
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