Studiare la convergenza della serie...
Ciao a tutti!
Vi sottopongo una serie che non riesco proprio a risolvere:
$\sum_{n=1}^(+\infty)$ $\cos(n!)/(e^n+1)$
Il mio ragionamento è stato questo:
1) Innanzitutto la serie è a termini positivi perchè il numeratore è sempre positivo (n parte da 1 e il coseno assume come valori da -1 a 1)
2) Il denominatore è sempre positivo (e^n positiva)
3) Ho verificato la condizione necessaria di convergenza facendo il limite (il numeratore andrà all'infinito in maniera più lenta rispetto al denominatore, giusto?) e in teoria ho trovato che fa 0.
4) Ora ho utilizzato l'asintotico e l'argomento della serie è diventato $(1-1/2(n!)^2)/(e^n)$ e qui ho pensato di considerare
$(n!)/(e^n)$ ma ho troppi dubbi per continuare su questa strada.
Vorrei delle dritte se possibile.
Grazie, Paolo
Vi sottopongo una serie che non riesco proprio a risolvere:
$\sum_{n=1}^(+\infty)$ $\cos(n!)/(e^n+1)$
Il mio ragionamento è stato questo:
1) Innanzitutto la serie è a termini positivi perchè il numeratore è sempre positivo (n parte da 1 e il coseno assume come valori da -1 a 1)
2) Il denominatore è sempre positivo (e^n positiva)
3) Ho verificato la condizione necessaria di convergenza facendo il limite (il numeratore andrà all'infinito in maniera più lenta rispetto al denominatore, giusto?) e in teoria ho trovato che fa 0.
4) Ora ho utilizzato l'asintotico e l'argomento della serie è diventato $(1-1/2(n!)^2)/(e^n)$ e qui ho pensato di considerare
$(n!)/(e^n)$ ma ho troppi dubbi per continuare su questa strada.
Vorrei delle dritte se possibile.
Grazie, Paolo
Risposte
Non va bene, perché lo sviluppo di Taylor del coseno che hai utilizzato è vero per valori dell'argomento "sufficientemente piccoli". In realtà basta notare che $|cos(n!)| <= 1$.
Quindi la serie è a segni alterni e devo studiare la convergenza assoluta?
Non è proprio a termini di segno alternato; comunque converge assolutamente e questo ti basta.
Grazie per la risposta intanto 
se metto che $\|cos(n!)| = 1$ mi viene $1/e^n$ e come so che questo converge? scusami ma sono proprio all'inizio con le serie...
se metto che $\|cos(n!)| = 1$ mi viene $1/e^n$ e come so che questo converge? scusami ma sono proprio all'inizio con le serie...
Ah ci sono. E' una serie geometrica ed essendo la ragione q<1 allora converge. Grazie mille
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