Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri e...
a) $\int_0^1 \frac{\sin x}{x\sqrt{x}} \text{d}x$
Studia la convergenza dei seguente integrale improprio. Ma studiare la convergenza vuol dire calcolare l'integrale in quell'intervallo? In $0$ abbiamo un punto pericoloso quindi si deve scrivere:
$\lim_(x-> \epsilon)\int_(\epsilon)^1 \frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\text{d}x$ ?
Inoltre
b) $\int_1^(\infty) (\frac{1}{x^{2 + \alpha}} + \frac{1}{x^{2 - \alpha}})\text{d}x$ Ha problemi solo a $\infty$ quindi studiando i due integrali separati: $\int_1^(\infty) (\frac{1}{x^{2 + \alpha}})\text{d}x$ Converge se $\alpha > -1$ e l'altro $\int_1^(\infty) \frac{1}{x^{2 - \alpha}}$ converge se $\alpha< 1$ Mettendo a sistema il tutto ho $-1<\alpha<1$ ?
Ultimo
c)$\int_0^1 \frac{e^{(\alpha)x} \log (1 + x) - \sin x}{x^3} \text{d}x$
In $0$ ci sono dei problemi. Posso dire che $\int \sim \int_0^1 \frac{e^{(\alpha)x} - 1}{x^2}$ Mi porta a qualcosa? devo usare il limite notevole?
Studia la convergenza dei seguente integrale improprio. Ma studiare la convergenza vuol dire calcolare l'integrale in quell'intervallo? In $0$ abbiamo un punto pericoloso quindi si deve scrivere:
$\lim_(x-> \epsilon)\int_(\epsilon)^1 \frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\text{d}x$ ?
Inoltre
b) $\int_1^(\infty) (\frac{1}{x^{2 + \alpha}} + \frac{1}{x^{2 - \alpha}})\text{d}x$ Ha problemi solo a $\infty$ quindi studiando i due integrali separati: $\int_1^(\infty) (\frac{1}{x^{2 + \alpha}})\text{d}x$ Converge se $\alpha > -1$ e l'altro $\int_1^(\infty) \frac{1}{x^{2 - \alpha}}$ converge se $\alpha< 1$ Mettendo a sistema il tutto ho $-1<\alpha<1$ ?
Ultimo
c)$\int_0^1 \frac{e^{(\alpha)x} \log (1 + x) - \sin x}{x^3} \text{d}x$
In $0$ ci sono dei problemi. Posso dire che $\int \sim \int_0^1 \frac{e^{(\alpha)x} - 1}{x^2}$ Mi porta a qualcosa? devo usare il limite notevole?
Risposte
aiutino?
"davidedesantis":
a) $\int_0^1 \frac{\sin x}{x\sqrt{x}} \text{d}x$
Studia la convergenza dei seguente integrale improprio. Ma studiare la convergenza vuol dire calcolare l'integrale in quell'intervallo? In $0$ abbiamo un punto pericoloso quindi si deve scrivere:
$\lim_(x-> \epsilon)\int_(\epsilon)^1 \frac{\sin x}{x\sqrt{x}}\text{d}x$ ?
E' da un po' che ti vedo alle prese con gli integrali impropri,eh ? Ormai dovrebbe essere ovvio cosa vuol dire studiare la convergenza.....
Comunque
$\int_0^1 \frac{\sin x}{x\sqrt{x}} \text{d}x$
hai visto anche tu che hai dei problemi in $0$.
Ma in zero la funzione integranda la possiamo scrivere come
$(x+o(x))/(x\ sqrtx ) \sim (1)/(sqrt x)=(1)/(x^{1/2})$,
quindi l'esponente della x al denominatore è $<1$, quindi l'integrale converge.
E poi, no, il valore esatto dell'integrale non ci interessa quando si studia la convergenza.
Perfetto...Quindi il numero 2 dovrebbe essere corretto no? ed il 3)?
sul b) sono abbastanza sicuro, il c) come continuo?
Fai uno sviluppo di McLaurin.
avrei
$\int_0^1 \frac{\alpha\x + \frac{(\alpha)^2 x^2}{2}}{x^2}\text{d}x$
$\int_0^1 \frac{\alpha}{x} + \int_0^1 \frac{(\alpha)^2}{2}$ un pò strano di solito negi esercizi che mi escono avevo $\alpha$ all'esponente de denominatore, così non saprei cosa dire.
$\int_0^1 \frac{\alpha\x + \frac{(\alpha)^2 x^2}{2}}{x^2}\text{d}x$
$\int_0^1 \frac{\alpha}{x} + \int_0^1 \frac{(\alpha)^2}{2}$ un pò strano di solito negi esercizi che mi escono avevo $\alpha$ all'esponente de denominatore, così non saprei cosa dire.
Nel terzo caso lo sviluppo, arrestato al terzo ordine, risulta
$e^{\alpha x}\log(1+x)-\sin x=(\alpha-1/2)x^2+1/2(\alpha^2-\alpha+1)x^3+o(x^3)$
Ora, se $\alpha\ne 1/2$ allora la funzione integranda ha un comportamento simile a $c/x+o(1)$ (dove $c\in\RR\setminus\{0\}$) e quindi l'integrale non converge. Ma per $\alpha=1/2$ si ha che la funzione integranda è simile a $3/8+o(x)$ e in questo caso c'è convergenza.
$e^{\alpha x}\log(1+x)-\sin x=(\alpha-1/2)x^2+1/2(\alpha^2-\alpha+1)x^3+o(x^3)$
Ora, se $\alpha\ne 1/2$ allora la funzione integranda ha un comportamento simile a $c/x+o(1)$ (dove $c\in\RR\setminus\{0\}$) e quindi l'integrale non converge. Ma per $\alpha=1/2$ si ha che la funzione integranda è simile a $3/8+o(x)$ e in questo caso c'è convergenza.
Grazie
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