Studiare la convergenza assolutta e semplice della serie
Ciao, mi trovo in difficoltà con lo studio di questa serie al variare di $ x $:
$ sum_(n = 0)^(+oo) (n+sin(e^n))/(n^3+3log(n))(3x)^n $
Vado ad utilizzare il criterio del rapporto e ottengo:
$ ((n+1)n^3)/((n+1)^3n)(3x) $
Ora vi chiedo, quel $ (3x) $ va in valore assoluto? Se si, perchè?
Poi come devo continuare? faccio il limite di $ ((n+1)n^3)/((n+1)^3n)(3x) $ ?
Grazie
$ sum_(n = 0)^(+oo) (n+sin(e^n))/(n^3+3log(n))(3x)^n $
Vado ad utilizzare il criterio del rapporto e ottengo:
$ ((n+1)n^3)/((n+1)^3n)(3x) $
Ora vi chiedo, quel $ (3x) $ va in valore assoluto? Se si, perchè?
Poi come devo continuare? faccio il limite di $ ((n+1)n^3)/((n+1)^3n)(3x) $ ?
Grazie
Risposte
E si che va messo il valore assoluto , perchè per applicare, giustamente il criterio del rapporto, devi avere una serie a termini positivi, e quella li, per la presenza del parametro $x$ che può assumere ogni valore reale (e quindi anche negativo), non lo è. Allora Prendendo il modulo del termine generale ottieni una serie a termini positivi e puoi applicare qualsiasi criterio relativo a tali serie:
\begin{align*}
\left|\frac{n+\sin(e^n)}{n^3+3\ln n}\cdot (3x)^n\right| =\frac{\left|n+\sin(e^n)\right|}{\left|n^3+3\ln n\right|}\cdot \left|(3x)^n\right| =\frac {n+\sin(e^n) }{ n^3+3\ln n }\cdot 3\left| x \right|^n;
\end{align*}
Allora applicando il criterio del rapporto ottieni:
\begin{align*}
=&\lim_{n}\frac {(n+1)+\sin(e^{n+1}) }{(n+1)^3+3\ln(n+1) }\cdot 3\left| x \right|^{n+1}\cdot \frac{n^3+3\ln n }{n+\sin(e^n)}\cdot\frac{1}{ 3\left| x \right|^n}\\
=&\lim_{n}\frac {(n+1)+\sin(e^{n+1}) }{n+\sin(e^n)}\cdot \frac{n^3+3\ln n }{(n+1)^3+3\ln(n+1) } \cdot\frac{ 3\left| x \right|^{n+1}}{ 3\left| x \right|^n} \sim\frac{ 3\left| x \right|^{n+1}}{ 3\left| x \right|^n} \sim|x|
\end{align*}
quindi in conclusione, se $|x|<1$ il criterio del rapporto è soddisfatto e la serie converge assolutamente; se $|x|>1$ per il criterio del rapporto la serie non converge, mentre nel caso $|x|=1$, ossia nei casi in cui $x=\pm1$ devi studiare le serie che si ottengono separatamente, cioè :
se $x=1$ ottieni la serie numerica
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n+\sin(e^n)}{n^3+3\ln n} \cdot (3)^n
\end{align*}
mentre per $x=-1$ ottieni
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}(-3)^n\frac{n+\sin(e^n)}{n^3+3\ln n} .
\end{align*}
\begin{align*}
\left|\frac{n+\sin(e^n)}{n^3+3\ln n}\cdot (3x)^n\right| =\frac{\left|n+\sin(e^n)\right|}{\left|n^3+3\ln n\right|}\cdot \left|(3x)^n\right| =\frac {n+\sin(e^n) }{ n^3+3\ln n }\cdot 3\left| x \right|^n;
\end{align*}
Allora applicando il criterio del rapporto ottieni:
\begin{align*}
=&\lim_{n}\frac {(n+1)+\sin(e^{n+1}) }{(n+1)^3+3\ln(n+1) }\cdot 3\left| x \right|^{n+1}\cdot \frac{n^3+3\ln n }{n+\sin(e^n)}\cdot\frac{1}{ 3\left| x \right|^n}\\
=&\lim_{n}\frac {(n+1)+\sin(e^{n+1}) }{n+\sin(e^n)}\cdot \frac{n^3+3\ln n }{(n+1)^3+3\ln(n+1) } \cdot\frac{ 3\left| x \right|^{n+1}}{ 3\left| x \right|^n} \sim\frac{ 3\left| x \right|^{n+1}}{ 3\left| x \right|^n} \sim|x|
\end{align*}
quindi in conclusione, se $|x|<1$ il criterio del rapporto è soddisfatto e la serie converge assolutamente; se $|x|>1$ per il criterio del rapporto la serie non converge, mentre nel caso $|x|=1$, ossia nei casi in cui $x=\pm1$ devi studiare le serie che si ottengono separatamente, cioè :
se $x=1$ ottieni la serie numerica
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n+\sin(e^n)}{n^3+3\ln n} \cdot (3)^n
\end{align*}
mentre per $x=-1$ ottieni
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}(-3)^n\frac{n+\sin(e^n)}{n^3+3\ln n} .
\end{align*}
posto $z=3x$ ,a me invece risulta che il raggio di convergenza sia
$ r=lim_(n -> +infty) a_n/(a_(n+1))=1 $
quindi la serie converge assolutamente per $3|x|<1$
$ r=lim_(n -> +infty) a_n/(a_(n+1))=1 $
quindi la serie converge assolutamente per $3|x|<1$
ok fino a qui ci sono.
Ora devo studiare le due serie che ottengo con $ x=1 $ e $ x=-1 $
La serie a termini positivi non è un problema, mentre per la serie a segno alterno (quella con $ x=-1 $) uso il criterio di Liebnitz e nasce un problemino nel studiare la decrescenza della serie.. perchè facendo la derivata prima mi esce una cosa non molto amichevole. Come faccio a capire se è o meno decrescente?
La derivata è questa:
$ ((1+cose^x)e^x*(x^3+3logx)-(x+sine^x)*(3x^2+3/x))/(x^3+3logx)^2 $
PS:
Era sbagliato cominciare dicendo che la serie di partenza è asintotica a $ 1/n^2 $ e quindi studiare la serie
$ sum_(n = 0) ^(+oo)1/n^2*(3x)^n $ con il criterio del rapporto o della radice?
Ora devo studiare le due serie che ottengo con $ x=1 $ e $ x=-1 $
La serie a termini positivi non è un problema, mentre per la serie a segno alterno (quella con $ x=-1 $) uso il criterio di Liebnitz e nasce un problemino nel studiare la decrescenza della serie.. perchè facendo la derivata prima mi esce una cosa non molto amichevole. Come faccio a capire se è o meno decrescente?
La derivata è questa:
$ ((1+cose^x)e^x*(x^3+3logx)-(x+sine^x)*(3x^2+3/x))/(x^3+3logx)^2 $
PS:
Era sbagliato cominciare dicendo che la serie di partenza è asintotica a $ 1/n^2 $ e quindi studiare la serie
$ sum_(n = 0) ^(+oo)1/n^2*(3x)^n $ con il criterio del rapporto o della radice?
Capito.
Se mi trovo da calcolare una serie come questa (a segni alterni), come la risolvo?
$ sum_(n =1)^(+oo) (-1)^n(-3)^n/(3^n+n^2*(3/4)^4 $
(Il teorema di Liebnitz non si può applicare in quanto il termine generale non è infinitesimo).
Quindi sapendo che il termine generale non è infinitesimo so che non convergerà, ma come dimostro che diverge? Come faccio a confrontarla con la serie armonica?
Se mi trovo da calcolare una serie come questa (a segni alterni), come la risolvo?
$ sum_(n =1)^(+oo) (-1)^n(-3)^n/(3^n+n^2*(3/4)^4 $
(Il teorema di Liebnitz non si può applicare in quanto il termine generale non è infinitesimo).
Quindi sapendo che il termine generale non è infinitesimo so che non convergerà, ma come dimostro che diverge? Come faccio a confrontarla con la serie armonica?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo