Studiare la convegenza semplice ed assoluta di due serie
Buona sera, mi ritrovo a scrivere nuovamente, questa volta per verificare lo svolgimento dello studio della convergenza di due serie.
1) \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n \frac{5^n + (n+1)!}{10^n+(n+2)!} \)
Essendo una serie a termini alterni ho provato innanzitutto a studiarne la convergenza assoluta, vale a dire la convergenza della serie
\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5^n + (n+1)!}{10^n+(n+2)!} \)
Sapendo che il fattoriale va più velocemente all'infinito rispetto all'esponenziale, per confronto asintotico posso dire che
\(\displaystyle \frac{5^n + (n+1)!}{10^n+(n+2)!} \approx \frac{(n+1)!}{(n+2)!} \)
A questo punto ho usato il criterio del rapporto e sfruttato le proprietà dei fattoriali andando a riscrivere la mia successione come
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(n+2)(n+1)(n!)}{(n+3)(n+2)(n+1)(n!)} \cdot \frac{(n+2)(n+1)(n!)}{(n+1)(n!)} = \frac{n+2}{n+3} = \frac{n}{n} = 1 \)
Dunque, un risultato indefinito.
Procedendo con Leibniz vado a calcolarne il limite e verificarne la non crescenza.
\(\displaystyle lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(n+1)!}{(n+2)!} = 0 \)
Per la non crescenza, invece
\(\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n+2)!} \geq \frac{(n+2)!}{(n+3)!} \\ \)
\(\displaystyle \frac{1}{(n+2)} \geq \frac{1}{(n+3)} \)
Per Leibniz, la serie converge.
La seconda serie invece:
2) \(\displaystyle \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\sqrt{n^4+2n^2} -n^2}{n^2 \cdot ln(n) + (-1)^n\cdot n} \)
Vado nuovamente a studiarne la convergenza assoluta quindi
\(\displaystyle \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\sqrt{n^4+2n^2} -n^2}{n^2 \cdot ln(n) + \cdot n} \)
Andando a semplificare la frazione, sperando di non aver sbagliato alcun calcolo, mi ritrovo con la seguente successione
\(\displaystyle \frac{\sqrt(2)}{n \cdot ln(n)+1} \)
Essendo il numeratore non influenzato da alcun parametro lo porto al di fuori della successione
\(\displaystyle \sqrt(2) \sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n \cdot ln(n)+1} \)
Da questo punto in poi non so come procedere per la risoluzione.
Grazie in anticipo!
1) \(\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n \frac{5^n + (n+1)!}{10^n+(n+2)!} \)
Essendo una serie a termini alterni ho provato innanzitutto a studiarne la convergenza assoluta, vale a dire la convergenza della serie
\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{5^n + (n+1)!}{10^n+(n+2)!} \)
Sapendo che il fattoriale va più velocemente all'infinito rispetto all'esponenziale, per confronto asintotico posso dire che
\(\displaystyle \frac{5^n + (n+1)!}{10^n+(n+2)!} \approx \frac{(n+1)!}{(n+2)!} \)
A questo punto ho usato il criterio del rapporto e sfruttato le proprietà dei fattoriali andando a riscrivere la mia successione come
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(n+2)(n+1)(n!)}{(n+3)(n+2)(n+1)(n!)} \cdot \frac{(n+2)(n+1)(n!)}{(n+1)(n!)} = \frac{n+2}{n+3} = \frac{n}{n} = 1 \)
Dunque, un risultato indefinito.
Procedendo con Leibniz vado a calcolarne il limite e verificarne la non crescenza.
\(\displaystyle lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(n+1)!}{(n+2)!} = 0 \)
Per la non crescenza, invece
\(\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n+2)!} \geq \frac{(n+2)!}{(n+3)!} \\ \)
\(\displaystyle \frac{1}{(n+2)} \geq \frac{1}{(n+3)} \)
Per Leibniz, la serie converge.
La seconda serie invece:
2) \(\displaystyle \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\sqrt{n^4+2n^2} -n^2}{n^2 \cdot ln(n) + (-1)^n\cdot n} \)
Vado nuovamente a studiarne la convergenza assoluta quindi
\(\displaystyle \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{\sqrt{n^4+2n^2} -n^2}{n^2 \cdot ln(n) + \cdot n} \)
Andando a semplificare la frazione, sperando di non aver sbagliato alcun calcolo, mi ritrovo con la seguente successione
\(\displaystyle \frac{\sqrt(2)}{n \cdot ln(n)+1} \)
Essendo il numeratore non influenzato da alcun parametro lo porto al di fuori della successione
\(\displaystyle \sqrt(2) \sum_{n = 2}^{\infty}\frac{1}{n \cdot ln(n)+1} \)
Da questo punto in poi non so come procedere per la risoluzione.
Grazie in anticipo!
Risposte
Quando vuoi usare le stime asintotiche, devi scrivere $\approx$ e non $=$ perché hanno due significati ben diversi (specificando per $n \to +\infty$, perché anche nei limiti di funzioni si usa $\approx$ e in tal caso è per $x \to x_0$ con $x_0$ punto di accumulazione di $\bar{\mathbb{R}}$).
(1) La successione di cui devi dimostrare la decrescente monotonia è $\left(\frac{5^n+(n+1)!}{10^n+(n+2)!}\right)_{n\in\mathbb{N}}$, perché consideri solo $\frac{(n+1)!}{(n+2)!}$?
(2) È sbagliato perché hai sbagliato fin dall'inizio. Il valore assoluto della successione sotto il segno di serie non è quello che hai riportato tu. Riprova!
(1) La successione di cui devi dimostrare la decrescente monotonia è $\left(\frac{5^n+(n+1)!}{10^n+(n+2)!}\right)_{n\in\mathbb{N}}$, perché consideri solo $\frac{(n+1)!}{(n+2)!}$?
(2) È sbagliato perché hai sbagliato fin dall'inizio. Il valore assoluto della successione sotto il segno di serie non è quello che hai riportato tu. Riprova!
Al solito, grazie mille per la risposta.
Ah si, colpa mia nello scrivere velocemente, provvedo subito a modificare il messaggio iniziale.
Giusto, questo era uno dei dubbi.
La disequazione è quindi
$\frac{5^n+(n+1)!}{10^n+(n+2)!} \geq \frac{5^{n+1}+(n+2)!}{10^{n+1}+(n+3)!} $
Arrivato a questo punto, ad occhio posso confermare la non crescenza ma algebricamente parlando mi risulta un pò ostica da risolvere.
Riguardando meglio la successione, effettivamente risulta negativa solo per n = 1.
Quindi
\(\displaystyle |\frac{\sqrt{n^4+2n^2}-n^2}{n^2\cdot ln(n)+(-1)^n \cdot n}| = \begin{cases}\frac{\sqrt{n^4+2n^2}-n^2}{n^2\cdot ln(n)+(-1)^n \cdot n}, \text{ se } n > 1 \\ \frac{-\sqrt{n^4+2n^2}+n^2}{-n^2\cdot ln(n) - (-1)^n\cdot n)}, \text{ se } n = 1\end{cases} \)
Sperando ora sia corretta
Edit : Rimangio quanto detto sul punto 2, la sommatoria inizia già a partire da 2, per cui il valore assoluto della successione è proprio quella di partenza, giusto?
"Mephlip":
Quando vuoi usare le stime asintotiche, devi scrivere $\approx$ e non $=$ perché hanno due significati ben diversi (specificando per $n \to +\infty$, perché anche nei limiti di funzioni si usa $\approx$ e in tal caso è per $x \to x_0$ con $x_0$ punto di accumulazione di $\bar{\mathbb{R}}$).
Ah si, colpa mia nello scrivere velocemente, provvedo subito a modificare il messaggio iniziale.
"Mephlip":
(1) La successione di cui devi dimostrare la decrescente monotonia è $\left(\frac{5^n+(n+1)!}{10^n+(n+2)!}\right)_{n\in\mathbb{N}}$, perché consideri solo $\frac{(n+1)!}{(n+2)!}$?
Giusto, questo era uno dei dubbi.
La disequazione è quindi
$\frac{5^n+(n+1)!}{10^n+(n+2)!} \geq \frac{5^{n+1}+(n+2)!}{10^{n+1}+(n+3)!} $
Arrivato a questo punto, ad occhio posso confermare la non crescenza ma algebricamente parlando mi risulta un pò ostica da risolvere.
"Mephlip":
(2) È sbagliato perché hai sbagliato fin dall'inizio. Il valore assoluto della successione sotto il segno di serie non è quello che hai riportato tu. Riprova!
Riguardando meglio la successione, effettivamente risulta negativa solo per n = 1.
Quindi
\(\displaystyle |\frac{\sqrt{n^4+2n^2}-n^2}{n^2\cdot ln(n)+(-1)^n \cdot n}| = \begin{cases}\frac{\sqrt{n^4+2n^2}-n^2}{n^2\cdot ln(n)+(-1)^n \cdot n}, \text{ se } n > 1 \\ \frac{-\sqrt{n^4+2n^2}+n^2}{-n^2\cdot ln(n) - (-1)^n\cdot n)}, \text{ se } n = 1\end{cases} \)
Sperando ora sia corretta
Edit : Rimangio quanto detto sul punto 2, la sommatoria inizia già a partire da 2, per cui il valore assoluto della successione è proprio quella di partenza, giusto?
Prego! Per (1), innanzitutto, concludiamo lo studio della serie dei valori assoluti: hai correttamente notato che $\frac{5^n+(n+1)!}{10^n+(n+2)!} \approx \frac{(n+1)!}{(n+2)!}$ per $n \to +\infty$, ed essendo $\frac{(n+1)!}{(n+2)!}=\frac{1}{n+2}$ concludi che la serie dei valori assoluti diverge (per dimostrarlo, o fai un nuovo confronto asintotico tra $\frac{1}{n+2}$ e $\frac{1}{n}$ oppure ti accorgi che per $n \ge 2$ è $2n \ge n+2>0$ da cui segue $\frac{1}{n+2} \ge \frac{1}{2n}$; da qui concludi con il confronto).
Ad occhio non si fa nulla, le cose si dimostrano
. La disequazione effettivamente non sembra fattibile, quindi dobbiamo trovare un'altra strada. Ma ora non ho molto tempo per pensarci su, quindi potrei aver dato un giudizio affrettato. Concludiamo questa parte appena posso!
Per (2), esatto. Perciò, in realtà, questa serie non è a termini di segno alterno visto che numeratore e denominatore sono sempre non negativi. Quindi, possiamo studiarla con i criteri per serie a termini di segno non negativo. A questo punto razionalizzerei e raccoglierei i termini che vanno all'infinito più velocemente:
$$\frac{\sqrt{n^4+2n^2}-n^2}{n^2 \log n+(-1)^n n}=\frac{(\sqrt{n^4+2n^2}-n^2)(\sqrt{n^4+2n^2}+n^2)}{(\sqrt{n^4+2n^2}+n^2)(n^2 \log n+(-1)^n n)}$$
$$=\frac{2n^2}{\left(\sqrt{n^4\left(1+\frac{2n^2}{n^4}\right)}+n^2\right)(n^2 \log n\left(1+\frac{(-1)^n n}{n^2 \log n}\right)}=\frac{2n^2}{n^2\left(\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+1\right)n^2 \log n \left(1+\frac{(-1)^n}{n \log n}\right)}$$
$$=\frac{2}{n^2 \log n \left(\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+1\right) \left(1+\frac{(-1)^n}{n \log n}\right)}$$
Quest'ultima espressione suggerisce che la successione sotto il segno di serie è asintotica a $\frac{1}{n^2 \log n}$ per $n \to +\infty$; dato che $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2 \log n}$ converge (dovresti aver visto le cosiddette serie armoniche generalizzate), converge anche la serie di partenza.
Ad occhio non si fa nulla, le cose si dimostrano
. La disequazione effettivamente non sembra fattibile, quindi dobbiamo trovare un'altra strada. Ma ora non ho molto tempo per pensarci su, quindi potrei aver dato un giudizio affrettato. Concludiamo questa parte appena posso!Per (2), esatto. Perciò, in realtà, questa serie non è a termini di segno alterno visto che numeratore e denominatore sono sempre non negativi. Quindi, possiamo studiarla con i criteri per serie a termini di segno non negativo. A questo punto razionalizzerei e raccoglierei i termini che vanno all'infinito più velocemente:
$$\frac{\sqrt{n^4+2n^2}-n^2}{n^2 \log n+(-1)^n n}=\frac{(\sqrt{n^4+2n^2}-n^2)(\sqrt{n^4+2n^2}+n^2)}{(\sqrt{n^4+2n^2}+n^2)(n^2 \log n+(-1)^n n)}$$
$$=\frac{2n^2}{\left(\sqrt{n^4\left(1+\frac{2n^2}{n^4}\right)}+n^2\right)(n^2 \log n\left(1+\frac{(-1)^n n}{n^2 \log n}\right)}=\frac{2n^2}{n^2\left(\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+1\right)n^2 \log n \left(1+\frac{(-1)^n}{n \log n}\right)}$$
$$=\frac{2}{n^2 \log n \left(\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+1\right) \left(1+\frac{(-1)^n}{n \log n}\right)}$$
Quest'ultima espressione suggerisce che la successione sotto il segno di serie è asintotica a $\frac{1}{n^2 \log n}$ per $n \to +\infty$; dato che $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2 \log n}$ converge (dovresti aver visto le cosiddette serie armoniche generalizzate), converge anche la serie di partenza.
Perfetto, riuscito a risolvere la seconda con un pò di pazienza e i tuoi suggerimenti.
Nessun problema, anzi, mi hai già aiutato tantissimo con le varie spiegazioni. Grazie mille!
"Mephlip":
Prego! Per (1), innanzitutto, concludiamo lo studio della serie dei valori assoluti: hai
Ad occhio non si fa nulla, le cose si dimostrano
Nessun problema, anzi, mi hai già aiutato tantissimo con le varie spiegazioni. Grazie mille!
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