Studiare il segno di x-2arctg(x)
Come potrei risolvere una disequazioni del genere ? Mi è venuto in mente di applicare la funzione inversa . Ma non mi si trova
Risposte
Inizia a considerare due funzioni $f(x)=x$ e $g(x)=2arctg(x)$.
Dopodichè ne studi i punti di intersezione, partendo dal fatto che in $x=0$ sicuramente ne esiste uno, inoltre $g(x)$ è concava a destra, e convessa a sinistra, mentre $f(x)$ ha convessità nulla su ogni $x\in\RR$. Quindi a rigor di logica dovrebbe avere un ulteriore punto di intersezione a destra, ed uno a sinistra. Dal momento che un equazione del genere sono quasi sicuro che sia risolvibile solo per approssimazioni successive (ovvero con metodi numerici) penso che l'esercizio ti richieda semplicemente di definire un intervallo realistico in cui questi ulteriori due punti cadono. Nel fare ciò posso consigliarti di considerare (approcio analitico) la serie di Taylor di $g(x)$ e poi sottrarci $f(x)$, cercando di capire quando va a zero. (secondo me ti puoi fermare al 3° ordine e poi sommare un $\delta$ di sicurezza alla $x_{0}$ che hai trovato, per il fatto di aver tralasciato una parte di approssimazione).
Un altro approcio potrebbe essere quello di considerare un'inversione del teorema di Lagrange sull'intervallo $[1,\sqrt(3)]$ (anche perchè in $x=1$ la funzione somma è negativa e in $x=\sqrt(3)$ è positiva, quindi per continuità lo zero casca li in mezzo).
Consideri a questo punto il rapporto incrementale di $g(x)$ (con estremo sinistro fisso su $x=0$) e vedi quando questo tende a 1.
Io lo farei così, non ho altri strumenti per darti altre dritte!
Dopodichè ne studi i punti di intersezione, partendo dal fatto che in $x=0$ sicuramente ne esiste uno, inoltre $g(x)$ è concava a destra, e convessa a sinistra, mentre $f(x)$ ha convessità nulla su ogni $x\in\RR$. Quindi a rigor di logica dovrebbe avere un ulteriore punto di intersezione a destra, ed uno a sinistra. Dal momento che un equazione del genere sono quasi sicuro che sia risolvibile solo per approssimazioni successive (ovvero con metodi numerici) penso che l'esercizio ti richieda semplicemente di definire un intervallo realistico in cui questi ulteriori due punti cadono. Nel fare ciò posso consigliarti di considerare (approcio analitico) la serie di Taylor di $g(x)$ e poi sottrarci $f(x)$, cercando di capire quando va a zero. (secondo me ti puoi fermare al 3° ordine e poi sommare un $\delta$ di sicurezza alla $x_{0}$ che hai trovato, per il fatto di aver tralasciato una parte di approssimazione).
Un altro approcio potrebbe essere quello di considerare un'inversione del teorema di Lagrange sull'intervallo $[1,\sqrt(3)]$ (anche perchè in $x=1$ la funzione somma è negativa e in $x=\sqrt(3)$ è positiva, quindi per continuità lo zero casca li in mezzo).
Consideri a questo punto il rapporto incrementale di $g(x)$ (con estremo sinistro fisso su $x=0$) e vedi quando questo tende a 1.
Io lo farei così, non ho altri strumenti per darti altre dritte!
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