Studiare il segno di una derivata di funzione integrale

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Stavo studiando la seguente funzione integrale, dopo qualche difficoltà ho consultato l'utilissimo pdf sulle funzioni integrali di camillo, tuttavia quello che mi blocca nel mio caso è uno studio di segno in particolar modo

$F(x)=\int_0^(2x-x^2)(cos(1/(1+t^2)))dt$

La funzione è definita in tutto $R$
Siccome non credo si possa integrare elementarmente se ne studio un po' il grafico scopro che sta tutto sopra l'asse x, essendo pari l'integrale è per metà positivo e per metà negativo? Dovrebbe addirittura dare 0 e allora non capisco più nulla perchè come faccio a studiarmi la positività?

Tralasciando questo il problema si ripresenta derivando la $F(x)$

$F'(x)=(2-2x)cos(1/(1+(2x-x^2)^2))$

Bene ora dovrei studiarne il segno ma non saprei proprio come prendere quel coseno, insomma avevo si pensato di studiarla graficamente ma l'esercizio mi sembrava troppo lungo..anzi potrebbe anche essere che il segno dipenda solo dalla parte facile della derivata cioè $(2-2x)$ chiaramente non so dire il perchè e non mi dilungo oltre

Stesso discorso per la derivata seconda che viene ancora più antipatica di sua sorella la derivata prima..

$F''(x)=-2cos(1/(1+(2x-x^2)^2))-(2-2x)sin(1/(1+(2x-x^2)^2))(2(2x-x^2)(2-2x))/((1+(2x-x^2)^2))^2$

E qui che sorge il dubbio ma dovrò davvero studiare il segno di brutta derivata seconda?

Insomma come faccio a studiare i segni delle derivate senza impelegarmi in calcoli astrusi e come risolvere il problema della positività?

[Brancaleone1]

$F(x)=int_0^(2x-x^2)[cos(1/(1+t^2))]dt$

$text(dominio di ) F(x)=mathbbR$

$F'(x)=2(1-x)cos(1/(1+(2x-x^2)^2))$

Il coseno è sempre strettamente positivo, infatti

$0<1/(1+(2x-x^2)^2)=1/(1+u^2)<=1$

$=> cos(0)>cos(1/(1+u^2))>=cos(1)$

quindi il segno della derivata dipende solo da $(1-x)$

$=>$ la funzione è crescente per $x<1$, decrescente per $x>1$

$F(x)=0$ per $x(2-x)=0 => F(x)$ interseca l'asse $x$ nei punti $x_0=0$ e $x_1=2$

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Quindi siccome l'argomento del coseno è sempre positivo e per di più e compreso tra 0 e 1 allora è un angolo minore di 90° e dunque il coseno è sempre positivo...

E per la derivata seconda? Non mi serve ai fini dello studio di funzione? Se voglio sapere la concavità?

E per quanto riguarda la positività della funzione $F(x)$ ? Non posso dir nulla?