Studiare il limite del rapporto di due polinomi

[ingegnè]

Ciao a tutti, come da titolo qualcuno potrebbe spiegarmi come studiare il limite del rapporto di due polinomi? Dai miei appunti non riesco a capirlo bene.. probabilmente avro' copiato male qualcosa.. grazie!

[menale1]

Dipende di che limite si tratta, proponi qualche esempio e ne discutiamo.

[ingegnè]

Allora questa è la definizione generale che ho io nel quaderno:
\[
\lim_n \frac{a_0 n^p + a_1n^{p-1}+\cdots +a_{p-1}n+a_p}{b_0n^q+b_1n^{q-1}+\cdots +b_{q-1} n+b_q}
\] con $ p in N $ e $ q in N $ fissati , $ a_0 $ e $ b_0 $ $ != 0 $ . Quel limite poi lo abbiamo scritto cosi' : $ lim frac{n^p}{n^q}* frac{a_0+a^1/n + a^2/ n^2+ ....a_p/n^p}{b_0+b_1/n+b_2/n^2+....a_q/n^q} $ e tutto questo puo' avere come risultato : $ a_0 / b_0 $ se $ p = q $ , $ +infty $ se $ p > q $ , $ - infty $ se $ a_0 / b_b < 0 $ e $ 0 $ se $ p

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[menale1]

A te interessa solamente la potenza di $ n $ più alta che trovi sia al numeratore che al denominatore. Quindi analizzando la potenza più alta al denominatore e quella al denominatore puoi capire di volta in volta, senza ricorda alcuna "formula", come va il tuo limite. Ad esempio $ lim_(n ) (n^3+n^2)/(9n+7) $ : al numerato la potenza più alta è $ n^3 $ , al denominatore $ 9n $ , dunque puoi non considerare gli altri termini, pertanto è come se fosse $ lim_(n ) n^3/(9n) $ che ti da $ +oo $ come soluzione.

[ingegnè]

Ahhhhh e quindi se ad esempio avessi $ (n^3+2) / (n^3+50) $ dato che i termini di grado massimo si al num. che al den. sono uguali io so già che il risultato è $ 2/50 $ ? o ancora se ho $ (n^2+1)/ (n^4+3) $ sapro' già che dato che il termine di grado massimo del denominatore è maggiore rispetot a quello del num. il risultato del limite sarà 0? giusto? Comunque grazie per la risposta..

[menale1]

Il primo è sbagliato. Il risultato è 1, dal momento che i termini di grado massimo sono i due $ n^3 $ . I termini noti stanno per $ n^0 $ , dunque non rappresentano il grado massimo nel tuo caso.

[menale1]

Chiaro ora?

[ingegnè]

Quindi ricapitolando a me interessa sempre il termine di grado massimo simo del nominatore che del denominatore, poi in base alla loro relazione posso stabilire se il limite è + o - infinito , 0 o è uguale alla differenza tra i due.. giusto? comunque si grazie ora è piu' chiaro sicuramente con gli esercizi lo diventarà ancor di piu'.. spero!

[menale1]

Il concetto è quello, si!