Studiare il limite
ciao a tutti, non ho idea di come risolvere il seguente esercizio:
Studiare al variare di $alpha>0$ il limite: $lim_(x->0^+) 1/x^alpha (cos tan sqrt(x) - 1)$
i libri che ho non ne parlano assolutamente,
spero in un vostro suggerimento.Grazie!!
Studiare al variare di $alpha>0$ il limite: $lim_(x->0^+) 1/x^alpha (cos tan sqrt(x) - 1)$
i libri che ho non ne parlano assolutamente,
spero in un vostro suggerimento.Grazie!!
Risposte
Io partirei dal $lim_(y->0^+) (cosy-1)/(y^2)=-1/2$ che è un limite notevole, l'esercizio diventerebbe
$lim_(x->0^+) (cos (tan sqrt(x)) - 1)/(tan sqrt(x))^2*(tan sqrt(x))^2/x^alpha$ il primo fattore vale $-1/2$ e basta lavorare sul secondo fattore
$lim_(x->0^+) (cos (tan sqrt(x)) - 1)/(tan sqrt(x))^2*(tan sqrt(x))^2/x^alpha$ il primo fattore vale $-1/2$ e basta lavorare sul secondo fattore
mi rimangono alcuni dubbi:
hai considerato $tan sqrt(x)$ invece di $tan(sqrt(x) -1)$ per farla assomigliare al lim notevole? quindi è lecito farlo?
trasformando il limite: il primo fattore è la forma del lim notevole, ma non capisco come arrivare al secondo, che sarebbe $y^2/x^alpha$ ed inizialmente il termine era $1/x^alpha$
infine il secondo termine sarebbe $(tan^2 x )/x^alpha$ che assomiglia al lim notevole $lim_(x->0) tanx / x = 1$ ma anche considerando $alpha=1$ rimane sempre $tan^2$ e quindi non si può applicare.
ho fatto un calcolo veloce, rivedo il procedimento magari capisco qualcuno di questi dubbi.
Grazie ancora, mi hai cambiato la giornata
hai considerato $tan sqrt(x)$ invece di $tan(sqrt(x) -1)$ per farla assomigliare al lim notevole? quindi è lecito farlo?
trasformando il limite: il primo fattore è la forma del lim notevole, ma non capisco come arrivare al secondo, che sarebbe $y^2/x^alpha$ ed inizialmente il termine era $1/x^alpha$
infine il secondo termine sarebbe $(tan^2 x )/x^alpha$ che assomiglia al lim notevole $lim_(x->0) tanx / x = 1$ ma anche considerando $alpha=1$ rimane sempre $tan^2$ e quindi non si può applicare.
ho fatto un calcolo veloce, rivedo il procedimento magari capisco qualcuno di questi dubbi.
Grazie ancora, mi hai cambiato la giornata
Il secondo limite diviene
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \frac{(\tan\sqrt{x})^2}{x^\alpha}=\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{\tan\sqrt{x}}{x^\frac{\alpha}{2}}\right)^2[/tex]
Ragiona su questo.
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \frac{(\tan\sqrt{x})^2}{x^\alpha}=\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{\tan\sqrt{x}}{x^\frac{\alpha}{2}}\right)^2[/tex]
Ragiona su questo.
melia ha sbagliato perchè tu non sei stato chiaro nel tuo primo post.
Se io ti scrivessi $ cos ln tanx +1 -sinx^2 $ tu cosa capiresti? Sarebbe diverso dallo scrivere $ cos (ln (tanx) +1) -sinx^2 $
Melia ha considerato argomento della tangente solo $\sqrt(x)$ perchè sembra così dal tuo primo post. avresti dovuto scrivere $1/x^\alpha( cos ( tan(\sqrt(x)-1))$
Se io ti scrivessi $ cos ln tanx +1 -sinx^2 $ tu cosa capiresti? Sarebbe diverso dallo scrivere $ cos (ln (tanx) +1) -sinx^2 $
Melia ha considerato argomento della tangente solo $\sqrt(x)$ perchè sembra così dal tuo primo post. avresti dovuto scrivere $1/x^\alpha( cos ( tan(\sqrt(x)-1))$
"12Aquila":
$lim_(x->0^+) 1/x^alpha cos (tan (sqrt(x) - 1))$
Parlando del tuo limite... puoi usare gli sviluppi in serie?
K.Lomax grazie mi metto subito a lavoro, anche se ne avrò di ragionare perche al momento non capisco perchè è $x^(alpha/2)$, ci mediterò un po sù.
il prof me lo ha presentato esattamente così, neanche io so se considerare $sqrt(x)$ o $sqrt(x)-1$. ma nell'incertezza è corretto seguire il procedimento illustrato da @melia quindi considerare solo $tan sqrt(x)$?
anche se ho il presentimento che si dovrebbe usare $tan sqrt(x)-1$...
tenterò di risolvere entrambi i casi.
Grazie ad entrambi per le risposte
"pater46":
Melia ha considerato argomento della tangente solo $\sqrt(x)$ perchè sembra così dal tuo primo post. avresti dovuto scrivere $1/x^\alpha( cos ( tan(\sqrt(x)-1))$
il prof me lo ha presentato esattamente così, neanche io so se considerare $sqrt(x)$ o $sqrt(x)-1$. ma nell'incertezza è corretto seguire il procedimento illustrato da @melia quindi considerare solo $tan sqrt(x)$?
anche se ho il presentimento che si dovrebbe usare $tan sqrt(x)-1$...
tenterò di risolvere entrambi i casi.
Grazie ad entrambi per le risposte
Ah, allora questo cambia le cose. Dal tuo intervento avevo pensato che avesse frainteso il tuo limite.
Se anche tu sei indeciso, allora probabilmente il $-1$ è fuori dal coseno, perchè così ti puoi ricondurre facilmente al limite notevole che ha scritto melia.
Se anche tu sei indeciso, allora probabilmente il $-1$ è fuori dal coseno, perchè così ti puoi ricondurre facilmente al limite notevole che ha scritto melia.
$lim_(x->0^+) (cos (tan sqrt(x)) - 1)/(tan sqrt(x))^2*(tan sqrt(x))^2/x^alpha$ $-> -1/2*lim_(x->0^+) (tan^2 x)/x^alpha$
non riesco a risolvere $lim_(x->0^+) (tan^2 x )/ x^alpha$
l'unica cosa che mi viene in mente è lim notevole $tan x /x = 1$ ma non riesco a liberarmi dalla $tan^2$
Grazie!
non riesco a risolvere $lim_(x->0^+) (tan^2 x )/ x^alpha$
l'unica cosa che mi viene in mente è lim notevole $tan x /x = 1$ ma non riesco a liberarmi dalla $tan^2$
Grazie!
$tan^2x=tan x*tanx$ quindi $(tan^2x)/(x^alpha)=tanx/x*tanx/x*1/(x^(alpha-2))$
Cancellato, vedi risposta successiva.
Grazie per le Risposte!
per completare l'esercizio ho pensato di procedere così:
$lim_(x->0^+) (tan^2 x)/x^alpha = lim_(x->0^+) tan x/x^alpha * tan x/x^alpha * 1/x^(alpha-2)$ se considero $alpha = 1$ ottengo $lim_(x->0^+) 1 * 1 * 1/x^-1 = lim_(x->0^+) x = 0$
quindi $lim_(x->0^+) -1/2 * 0 = 0$ (-1/2 deriva dalla prima metà del lim)
dato che l'esercizio chiede lo studio del lim al variare di alpha posso dedurre da ciò (se è corretto) che per $alpha = 1 -> lim = 0$ però non so cosa dire per gli altri casi...
per completare l'esercizio ho pensato di procedere così:
$lim_(x->0^+) (tan^2 x)/x^alpha = lim_(x->0^+) tan x/x^alpha * tan x/x^alpha * 1/x^(alpha-2)$ se considero $alpha = 1$ ottengo $lim_(x->0^+) 1 * 1 * 1/x^-1 = lim_(x->0^+) x = 0$
quindi $lim_(x->0^+) -1/2 * 0 = 0$ (-1/2 deriva dalla prima metà del lim)
dato che l'esercizio chiede lo studio del lim al variare di alpha posso dedurre da ciò (se è corretto) che per $alpha = 1 -> lim = 0$ però non so cosa dire per gli altri casi...
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