Studiare il carattere di una serie

[axl_1986]

sto veramente diventando matto nel risolvere questa serie:

$sum_(n=1)^(+oo)((n^2-sqrt(n))/(n^4-n+1))$

io non potrei applicare la regola del confronto asintotiocò perchè non è in programma. Però sono curioso di vedere come viene anche cn quella.

[gugo82]

"axl_1986":sto veramente diventando matto nel risolvere questa serie:

$sum_(n=1)^(+oo)((n^2-sqrt(n))/(n^4-n+1))$

io non potrei applicare la regola del confronto asintotiocò perchè non è in programma. Però sono curioso di vedere come viene anche cn quella.

La serie è a termini non negativi e si maggiora con la serie $\sum n^2/(n^4-n)=\sum n/(n^3-1)$ la quale è a sua volta (definitivamente) maggiorata da $2\sum 1/n^2$ che converge.

[axl_1986]

grazie..ma come fai a sapere che quelle serie maggiorano la serie da me postata? come si verifica?

[killing_buddha]

Io avrei usato semplicemente un confronto asintotico... notato che la serie è a termini positivi si può dire che

$ \frac{n^2-\sqrt{n}}{n^4-n+1} \simeq_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}$

che converge. La maggiorazione funziona in modo molto simile, per dire che $a_n \le b_n$ tu devi solo mostrare che la disuguaglianza è verificata definitivamente (cioè per ogni n meno al piu un numero finito)

[axl_1986]

ok ora per io vorrei sapere tu come fai ad applicare il confronto asintotico non ottieni una forma oo/oo? Come la risolvi? Io purtroppo non riesco proprio a capire come fare

[gugo82]

"axl_1986":grazie..ma come fai a sapere che quelle serie maggiorano la serie da me postata? come si verifica?

Beh, è una questione semplicissima e ridotta a due calcoletti.
Infatti basta notare che per ogni $n$ si ha $n^2-sqrtn le n^2$ e $n^4-n le n^4-n+1$ cosicché, per $nge 2$ (bisogna richiedere che $n>1$ poichè c'è da imporre che $n^3-1!=0$ per passare ai reciproci) risulta $(n^2-sqrtn)/(n^4-n+1)le (n^2)/(n^4-n)=n/(n^3-1)$; d'altra parte un semplice calcolo mostra che $n/(n^3-1) le 2/n^2$ per $n ge 2$*; ne consegue che, come detto in precedenza, la tua serie è maggiorata per $n ge 2$ (quindi definitivamente) dalla serie $2\sum 1/n^2$ la quale converge per essere multipla della serie armonica generalizzata d'esponente $alpha=2$.


__________
* Difatti si ha: $n/(n^3-1) le 2/n^2 quad hArr quad n^3 le 2(n^3-1) quad hArr quad 1 le n^3 quad hArr quad nge 1$ e la disuguaglianza vale a maggior ragione per gli $n ge 2$.