Studiare il carattere della serie
Ciao a tutti ragazzi, nuovo problema con una serie numerica.
Studiare il carattere della serie
$\sum_{n=1}^oo ((-1)^n)/(1+(x/2)^n)$ al variare di $x$ $in RR$
Ok, tutto quello che sono riuscito a determinare e che se $x>2$ la serie risulta assolutamente convergente questo implica che sia convergente, mentre se x=2 la serie risulta limitata ma non convergente perché "va salterellando su due valori".
Per tutti gli altri valori di $x$ non so come comportarmi.
Se $x in (0,1)$ la serie non è assolutamente convergente ma potrebbe essere convergente, allora provo ad applicare il criterio di Leibniz, ma la serie non è decrescente, ne tantomeno infinitesima.
Gradirei una mano =) con spiegazione. Grazie ai coraggiosi in anticipo.
Domande
1) Quello che ho verificato fino ad ora è corretto?
2) Che carattere ha la serie negli intervalli da me non trattati e come arrivare a questo risultato?
Ps. Non ho ancora risolto i problemi postati in precedenza del limite e dell' integrale. (Non li ho più trattati però)
Studiare il carattere della serie
$\sum_{n=1}^oo ((-1)^n)/(1+(x/2)^n)$ al variare di $x$ $in RR$
Ok, tutto quello che sono riuscito a determinare e che se $x>2$ la serie risulta assolutamente convergente questo implica che sia convergente, mentre se x=2 la serie risulta limitata ma non convergente perché "va salterellando su due valori".
Per tutti gli altri valori di $x$ non so come comportarmi.
Se $x in (0,1)$ la serie non è assolutamente convergente ma potrebbe essere convergente, allora provo ad applicare il criterio di Leibniz, ma la serie non è decrescente, ne tantomeno infinitesima.
Gradirei una mano =) con spiegazione. Grazie ai coraggiosi in anticipo.
Domande
1) Quello che ho verificato fino ad ora è corretto?
2) Che carattere ha la serie negli intervalli da me non trattati e come arrivare a questo risultato?
Ps. Non ho ancora risolto i problemi postati in precedenza del limite e dell' integrale. (Non li ho più trattati però)
Risposte
Il limite $lim_(n \to \infty) (-1)^n/(1 + (x/2)^n)$ non esiste se $0 < x/2 \le 1$ . Quali informazioni puoi trarre da questo fatto?
Non so, posso trarre qualche informazione se il limite di una successione è indeterminato?
Certo. Condizione necessaria perché una serie (a termini di segno qualunque) sia convergente è che il termine generale sia infinitesimo.
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