Studiare esistenza limite
Buona domenica ragazzi 
,
quando mi viene chiesta l'esistenza di un limite, che tipo di considerazioni devo fare.... ad esempio:
$ int_(1)^(3) 1/(x-2)dx $ , facendo i calcoli risulta: $ [ln|x-2|]_(1)^(3) = 0 $ cosa dovrei spiegare, che in quell'intervallo vale zero?
, quando mi viene chiesta l'esistenza di un limite, che tipo di considerazioni devo fare.... ad esempio:
$ int_(1)^(3) 1/(x-2)dx $ , facendo i calcoli risulta: $ [ln|x-2|]_(1)^(3) = 0 $ cosa dovrei spiegare, che in quell'intervallo vale zero?
Risposte
Non puoi applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale alla funzione $1/{x-2}$ sull'intervallo $[1,3]$ poiche' essa non e' limitata, condizione necessaria per l'integrabilita' alla Riemann in senso classico. Devi usare la definizione di integrale improprio, quindi $\int_1^3 1/{x-2}dx$ esiste se i due integrali impropri $\int_1^2 1/{x-2}dx$ e $\int_2^3 1/{x-2}dx$ esistono e non si viene a creare la forma indeterminata $+\infty-\infty$.
non ho capito come dovrei comportarmi in questo caso....
solitamente gli integrali impropri li risolvo in questo modo: $ int_(0)^(oo ) e^-3x dx $ e risulta $ lim_(M -> +oo ) [-1/3e^-(3M)+1/3]= 0+1/3=1/3 $
nel nostro esempio perchè devo spezzare l'intervallo?
solitamente gli integrali impropri li risolvo in questo modo: $ int_(0)^(oo ) e^-3x dx $ e risulta $ lim_(M -> +oo ) [-1/3e^-(3M)+1/3]= 0+1/3=1/3 $
nel nostro esempio perchè devo spezzare l'intervallo?
Vedi che la funzione $1/{x-2}$ non e' neanche definita su $[1,3]$?
riprendo questa discussione perche' ho ancora dubbi e difficoltà nella risoluzione di questi esercizi.
il dominio della funzione $1/{x-2}$ e' \( ]-\infty ,2[ \cup ]2, +\infty[ \) ;
quindi non e' definita nell'intervallo $[1,3]$ perche' va "oltre"??
"Luca.Lussardi":
Vedi che la funzione $1/{x-2}$ non e' neanche definita su $[1,3]$
il dominio della funzione $1/{x-2}$ e' \( ]-\infty ,2[ \cup ]2, +\infty[ \) ;
quindi non e' definita nell'intervallo $[1,3]$ perche' va "oltre"??
"Luca.Lussardi":
Non puoi applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale alla funzione $1/{x-2}$ sull'intervallo $[1,3]$ poiche' essa non e' limitata, condizione necessaria per l'integrabilita' alla Riemann in senso classico. Devi usare la definizione di integrale improprio, quindi $\int_1^3 1/{x-2}dx$ esiste se i due integrali impropri $\int_1^2 1/{x-2}dx$ e $\int_2^3 1/{x-2}dx$ esistono e non si viene a creare la forma indeterminata $+\infty-\infty$.
ho cercato di sfruttare il tuo suggerimento e ho proceduto in questo modo:
$ \int_1^2 1/{x-2}dx $ = $ lim_(c -> 2^-) int_(1)^(c) 1/(x-2) dx = ln |x-2|_1^c=ln|c-2|-ln|-1| $ ,
calcolo il limite $ lim_(c -> 2^-) ln|c-2|-ln|-1|=ln|0^+|=-oo $
stessa cosa per il secondo integrale: $ \int_2^3 1/{x-2}dx $ = $ lim_(c -> 2^+) int_(c)^(3) 1/(x-2) dx = ln |x-2|_c^3=ln|1|-ln|c-2| $
calcolo il limite $ lim_(c -> 2^+) ln|1|-ln|c-2|=0-ln|0^+|=+oo $
avendo ottenuto la forma indeterminata $-oo+oo$ concludiamo che l'integrale non esiste?
con la speranza che il precedente esercizio sia giusto....
eccone un altro simile: $ int_(0)^(1) log(x) dx $ , devo studiarne l'esistenza.
In questo non c'e' bisogno di spezzare l'integrale... basta riscriverlo in questo modo $ lim_(c -> 0^+) int_(c)^(1) log(x)dx $ e integrando per parti mi risulta che l'integrale converge a $-1$. Ci sono? 
eccone un altro simile: $ int_(0)^(1) log(x) dx $ , devo studiarne l'esistenza.
In questo non c'e' bisogno di spezzare l'integrale... basta riscriverlo in questo modo $ lim_(c -> 0^+) int_(c)^(1) log(x)dx $ e integrando per parti mi risulta che l'integrale converge a $-1$. Ci sono?
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