Studiare carattere di una serie
Ciao a tutti, ho la seguente serie devo studiarne il carattere.
$\sum_{n=1}^(+\infty) (3n^2-1)/(n^l+5n)$ al variare del parametro reale l
$\sum_{n=1}^(+\infty) (3n^2-1)/(n^l+5n) = \sum_{n=1}^(+\infty) (3n^2)/(n^l) =3\sum_{n=1}^(+\infty) (n^2)/(n^l) = 3\sum_{n=1}^(+\infty) 1/(n^(l-2))$
Studiando il carattere della serie armonica generalizzata ponendo B=l-2
Se B<=1 cioè se l<=3 la serie diverge positivamente
Se B>1 cioè se l>3 la serie converge
Sto sbagliando qualcosa, va bene cosi la dimostrazione oppure no?
Invece con la seguente serie come dovrei studiarla:
$\sum_{n=1}^(+\infty) (2^(n+1)(x-5)^n)/(4^(n+1)+log n)$
$\sum_{n=1}^(+\infty) (3n^2-1)/(n^l+5n)$ al variare del parametro reale l
$\sum_{n=1}^(+\infty) (3n^2-1)/(n^l+5n) = \sum_{n=1}^(+\infty) (3n^2)/(n^l) =3\sum_{n=1}^(+\infty) (n^2)/(n^l) = 3\sum_{n=1}^(+\infty) 1/(n^(l-2))$
Studiando il carattere della serie armonica generalizzata ponendo B=l-2
Se B<=1 cioè se l<=3 la serie diverge positivamente
Se B>1 cioè se l>3 la serie converge
Sto sbagliando qualcosa, va bene cosi la dimostrazione oppure no?
Invece con la seguente serie come dovrei studiarla:
$\sum_{n=1}^(+\infty) (2^(n+1)(x-5)^n)/(4^(n+1)+log n)$
Risposte
Stai dando per scontato che $ n^l $ batte $ 5n $ per ogni valore di l, ma questo non è vero. Prova a dividere in 3 casi:
1) l>1
2)l=1
3)l<1
edit: la seconda invece puoi tener conto che $ (2^(n+1)(x-5)^n)/(logx +4^(n+1))~ (2^(n+1)(x-5)^n)/(4^(n+1))=1/2(2^(n)(x-5)^n)/(4^(n)) $ e poi applicare il criterio della radice
Fra i primi due elementi non c'è un meno ma un segno di equivalenza asintotica, non so perchè sembra un meno
1) l>1
2)l=1
3)l<1
edit: la seconda invece puoi tener conto che $ (2^(n+1)(x-5)^n)/(logx +4^(n+1))~ (2^(n+1)(x-5)^n)/(4^(n+1))=1/2(2^(n)(x-5)^n)/(4^(n)) $ e poi applicare il criterio della radice
Fra i primi due elementi non c'è un meno ma un segno di equivalenza asintotica, non so perchè sembra un meno
Ho capito quello che intendi, ma ho alcuni dubbi al riguardo su come impostare la dimostrazione.
1) l>1 ottieni $ sum((3n^2)/n^l)=3sum(n^(2-l)) $
2) l=1 ottieni $ sum((3n^2)/(6n))=1/2sum(n) $
3) l<1 ottieni $ sum((3n^2)/(5n))=3/5sum(n) $
Queste sono tutte e 3 serie "facili"
2) l=1 ottieni $ sum((3n^2)/(6n))=1/2sum(n) $
3) l<1 ottieni $ sum((3n^2)/(5n))=3/5sum(n) $
Queste sono tutte e 3 serie "facili"
Concordo con @Ernesto01 per la seconda serie fino a qaundo scrive
$ (2^(n+1)(x-5)^n)/(logn +4^(n+1))~ (2^(n+1)(x-5)^n)/(4^(n+1))=1/2(2^(n)(x-5)^n)/(4^(n)) $
ma poi ricordo che il criterio della radice si applica solo a serie di segno positivo quindi continuerei con:
$ 1/2(2^(n)(x-5)^n)/(4^(n))=1/2[(x-5)/2]^n $ e $ [(x-5)/2]^n $ e' una serie geometrica convergente se e solo se il modulo dell'argomento e' minore di 1.
$ (2^(n+1)(x-5)^n)/(logn +4^(n+1))~ (2^(n+1)(x-5)^n)/(4^(n+1))=1/2(2^(n)(x-5)^n)/(4^(n)) $
ma poi ricordo che il criterio della radice si applica solo a serie di segno positivo quindi continuerei con:
$ 1/2(2^(n)(x-5)^n)/(4^(n))=1/2[(x-5)/2]^n $ e $ [(x-5)/2]^n $ e' una serie geometrica convergente se e solo se il modulo dell'argomento e' minore di 1.
l<=1 diverge positivamente
l=2 converge a 1
l=3 diverge
l>3 converge
Cosi?
l=2 converge a 1
l=3 diverge
l>3 converge
Cosi?
Per l=2 ottieni $ 3sum1 $ come fà a convergere a 0?
In più non hai considerato gli intervalli 2
In più non hai considerato gli intervalli 2
@Ernesto hai ragione.
Se dovessi dimostrare la prima serie come faresti, con tutti i passaggi.
Se dovessi dimostrare la prima serie come faresti, con tutti i passaggi.
Forse se te la scrivessi come $ sum(1/n^(l-2)) $ sarebbe più immediato? Questa è una serie armonica generalizzata del tipo $ sum(1/n^alpha) $ che converge quando $alpha>1$ e diverge quando $alpha<=1$
Passando al parametro l abbiamo $l-2>1$ e ottieniamo $l>3$ quindi converge quando l è maggiore di 3,diverge altrimenti
Passando al parametro l abbiamo $l-2>1$ e ottieniamo $l>3$ quindi converge quando l è maggiore di 3,diverge altrimenti
Scusa ma cosa ho detto all'inizio, io?
Cosi va bene?
l<2 diverge positivamente
l=2 converge a 1
2
Cosi va bene?
l<2 diverge positivamente
l=2 converge a 1
2
Hai fatto una semplificazione asintotica non sempre vera, e a meno che non motivi la scelta la dimostrazione è sbagliata. Tu hai scritto $sum(n^2/(5n+n^l))=sum(1/n^(l-2))$ senza porti vincoli e questa uguaglianza è sicuramente sbagliata per ogni l<1
(tra l'altro non so se l'uguale si possa mettere quando due serie hanno lo stesso andamento asintotico, ma questo sarebbe il meno).
Per l=2 diverge comunque.
(tra l'altro non so se l'uguale si possa mettere quando due serie hanno lo stesso andamento asintotico, ma questo sarebbe il meno).
Per l=2 diverge comunque.
Allora arriviamo sempre li, che per l<=3 diverge e l>3 converge?
Posso chiederti tu come la dimostreresti, era in un esame per questo non vorrei sbagliare, chiedo a te.
Posso chiederti tu come la dimostreresti, era in un esame per questo non vorrei sbagliare, chiedo a te.
Forse si riesce a studiare la serie analizzando solo 2 casi ( $ n>=1 $)
Per esempio con il criterio del confronto :
$ n^2/(5n+n^l)<1/n^(l-2) $ e quindi per $ l>3 $ la serie data converge.
Per $ l<=3 $
$ 5n+n^l<=5n+n^3<=5n^3+n^3=6n^3 $ quindi $ n^2/(6n^3)<=n^2/(5n+n^l) $
Essendo $ n^2/(6n^3)=1/6*1/n $ serie armonica divergente la serie data diverge per $ l<=3 $
Per esempio con il criterio del confronto :
$ n^2/(5n+n^l)<1/n^(l-2) $ e quindi per $ l>3 $ la serie data converge.
Per $ l<=3 $
$ 5n+n^l<=5n+n^3<=5n^3+n^3=6n^3 $ quindi $ n^2/(6n^3)<=n^2/(5n+n^l) $
Essendo $ n^2/(6n^3)=1/6*1/n $ serie armonica divergente la serie data diverge per $ l<=3 $
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