Studiare carattere della serie
Ciao!
Ho provato più volte a studiare il carattere della serie, ma giungo ad un risultato che non mi soddisfa.
L'esercizio è il seguente: Dato un parametro k reale non negativo, vedere per quali valori di k la serie converge assolutamente e per quali semplicemente:
la serie è:
$\sum_{n=1}^ infty (cos(n\pi)*(1-cos(1/n))*root(5)(n^k))$
Io ho pensato che questa è una serie a termini di segno alterno, a causa del $cos(n\pi)$, e il termine generale tende a zero solo se k < 10.
Credo che fin qui non dovrebbero esserci problemi, poichè se k < 10 essa dovrebbe essere decrescente posso applicare il criterio di Leibniz e concludere che converge solo se k < 10.
Ho commesso errori fino a qui??
Il problema è che non so come vedere, poi, per quali valori converge assolutamente e solo per quali converge semplicemente.
Grazie mille
Mauro
p.s. ho corretto l'errore nella serie.
Ho provato più volte a studiare il carattere della serie, ma giungo ad un risultato che non mi soddisfa.
L'esercizio è il seguente: Dato un parametro k reale non negativo, vedere per quali valori di k la serie converge assolutamente e per quali semplicemente:
la serie è:
$\sum_{n=1}^ infty (cos(n\pi)*(1-cos(1/n))*root(5)(n^k))$
Io ho pensato che questa è una serie a termini di segno alterno, a causa del $cos(n\pi)$, e il termine generale tende a zero solo se k < 10.
Credo che fin qui non dovrebbero esserci problemi, poichè se k < 10 essa dovrebbe essere decrescente posso applicare il criterio di Leibniz e concludere che converge solo se k < 10.
Ho commesso errori fino a qui??
Il problema è che non so come vedere, poi, per quali valori converge assolutamente e solo per quali converge semplicemente.
Grazie mille
Mauro
p.s. ho corretto l'errore nella serie.
Risposte
Forse hai fatto un po' di confusione con le parentesi?
La radice $root{5}{n^k}$ moltiplica tutto il fattore $1-cos(1/n)$ (come credo che sia) o solo il coseno?
Ad ogni modo, per la convergenza assoluta, basta determinare l'ordine d'infinitesimo di del fattore $(1-cos(1/n)) root{5}{n^k}=n^(k/5)(1-cos(1/n))$ e quindi confrontare (asintoticamente) la tua serie in valore assoluto con un'appropriata serie armonica generalizzata...
Per la convergenza semplice, devi usare Leibniz: comincia a stabilire se la funzione $x^(k/5)(1-cosx)$ è monotona intorno a $0$, ad esempio...
La radice $root{5}{n^k}$ moltiplica tutto il fattore $1-cos(1/n)$ (come credo che sia) o solo il coseno?
Ad ogni modo, per la convergenza assoluta, basta determinare l'ordine d'infinitesimo di del fattore $(1-cos(1/n)) root{5}{n^k}=n^(k/5)(1-cos(1/n))$ e quindi confrontare (asintoticamente) la tua serie in valore assoluto con un'appropriata serie armonica generalizzata...
Per la convergenza semplice, devi usare Leibniz: comincia a stabilire se la funzione $x^(k/5)(1-cosx)$ è monotona intorno a $0$, ad esempio...
Scusa, hai ragione tu: ho fatto confusione con le parentesi.
Per trovare la convergenza assoluta ok, ho capito.
Ma perché dovrei studiare quella funzione in un intorno di 0 per vedere la monotonia?
È per poter verificare le ipotesi di leibniz?
Grazie
Per trovare la convergenza assoluta ok, ho capito.
Ma perché dovrei studiare quella funzione in un intorno di 0 per vedere la monotonia?
È per poter verificare le ipotesi di leibniz?
Grazie
Per quanto riguarda la convergenza assoluta nessun problema.
Ho notato, e ringrazio per il consiglio, che è applicabile il criterio di Leibinz perché la serie è decrescente, è di segno alterno e il termine generale tende a zero.
Giungo a confrontarla asintoticamente con una armonica generalizzata a termini di segno alterno. Della armonica a termini di segno alterno so che converge se l'esponente della n è uguale a 1, se è maggiore di uno uso il criterio del confronto, vedo che ogni serie è maggiorata dalla armonica a termini di segno alterno e quindi posso dire che questa converge se l'esponente della n è maggiore o uguale a 1. Come posso vedere se gli esponenti minori di uno della serie armonica a termini di segno alterno portano quest'ultima a convergere o divergere?
Grazie
Ho notato, e ringrazio per il consiglio, che è applicabile il criterio di Leibinz perché la serie è decrescente, è di segno alterno e il termine generale tende a zero.
Giungo a confrontarla asintoticamente con una armonica generalizzata a termini di segno alterno. Della armonica a termini di segno alterno so che converge se l'esponente della n è uguale a 1, se è maggiore di uno uso il criterio del confronto, vedo che ogni serie è maggiorata dalla armonica a termini di segno alterno e quindi posso dire che questa converge se l'esponente della n è maggiore o uguale a 1. Come posso vedere se gli esponenti minori di uno della serie armonica a termini di segno alterno portano quest'ultima a convergere o divergere?
Grazie
Piano piano... Lascia stare il confronto (che per le serie alterne è sempre delicato) e concentrati per un attimo su Leibniz.
Il criterio di Leibniz ti dice che se hai $\sum (-1)^na_n$, con $a_n>=0$, se la successione $(a_n)$ è decrescente ed infinitesima (ossia se $a_(n+1)<=a_n$ e $a_n\to 0$) allora la serie $\sum (-1)^na_n$ converge.
Nel tuo caso, visto che $cos npi=(-1)^n$ e che $(1-cos(1/n))n^(k/5) >=0$, la serie è a segni alterni ed ha:
$a_n=(1-cos(1/n))n^(k/5)$;
per applicare con successo Leibniz devi cercare di mostrare che $lim_n a_n= 0$ e che $(a_n)$ decresce.
Ricordando il limite fondamentale $lim_(x\to 0) (1-cos x)/(x^2)=1/2$, si ha:
$lim_n a_n =lim_n (1-cos(1/n))n^(k/5) =lim_n (1-cos(1/n))/(1/n)^2 *n^(k/5)*1/n^2=lim_n (1-cos(1/n))/(1/n)^2 *n^(k/5-2)$
e l'ultimo limite è $=0$ se e solo se $k/5-2<0$, ovvero se $k<10$. Quindi se vuoi avere una chance di applicare Leibniz, già sai che non puoi prendere $k>=10$, ma devi limitarti a $k<10$.
Per completare l'opera e dichiarare applicabile il criterio, bisogna mostrare che $a_n$ decresce.
Guardiamo gli $a_n$: detta $f(x):=(1-cos x)x^(-k/5)$, l'applicazione $n\mapsto a_n$ la puoi scrivere come funzione composta:
$a_n=f(1/n)$
con la componente interna $n\mapsto 1/n$ strettamente decrescente; se riuscissimo a far vedere che (almeno in un intorno destro di $0$) la $f$ è crescente, la funzione composta $a_n=f(1/n)$ sarebbe decrescente come vogliamo.
Per vedere se $f$ è crescente deriviamo: otteniamo:
$f'(x)=1/5x^(-k/5-1)*\{5xsinx-k(1-cosx)\}$
da cui:
$f'>=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5/k x>= (1- cos x)/(sin x)$;
notiamo che $k<10 => 1/k>1/10 => 5/k >1/2$ quindi $5/kx>=1/2 x$ per $x>=0$, cosicché per stabilire se vale la disuguaglianza $5/k x>= (1- cos x)/(sin x)$ per $x>=0$ basta stabilire se risulta:
$1/2x >= (1- cos x)/(sin x) \quad \Leftrightarrow 1/2x-(1- cos x)/(sin x) >=0 \quad $(*).
La funzione al primo membro dell'ultima disuguaglianza è continua per $x \in [0,pi[$, derivabile in $]0,pi[$ con derivata positiva, cosicché essa è crescente e perciò si ha:
$1/2x-(1- cos x)/(sin x)>=lim_(x\to 0^+) 1/2x-(1- cos x)/(sin x) =0$
che è la (*).
Ne consegue che $f'>=0$ in $[0,pi[$, ossia che $f$ è crescente in $[0,pi[$.
Visto che $a_n=f(1/n)$ e che $AAn \in NN,\ 1/n \in [0,pi[$, si ha $a_(n+1)=f(1/(n+1))
Ti prego di controllare i conti, che ho fatto di corsa e potrei aver commesso qualche errore grossolano.
Poi fammi sapere.
Il criterio di Leibniz ti dice che se hai $\sum (-1)^na_n$, con $a_n>=0$, se la successione $(a_n)$ è decrescente ed infinitesima (ossia se $a_(n+1)<=a_n$ e $a_n\to 0$) allora la serie $\sum (-1)^na_n$ converge.
Nel tuo caso, visto che $cos npi=(-1)^n$ e che $(1-cos(1/n))n^(k/5) >=0$, la serie è a segni alterni ed ha:
$a_n=(1-cos(1/n))n^(k/5)$;
per applicare con successo Leibniz devi cercare di mostrare che $lim_n a_n= 0$ e che $(a_n)$ decresce.
Ricordando il limite fondamentale $lim_(x\to 0) (1-cos x)/(x^2)=1/2$, si ha:
$lim_n a_n =lim_n (1-cos(1/n))n^(k/5) =lim_n (1-cos(1/n))/(1/n)^2 *n^(k/5)*1/n^2=lim_n (1-cos(1/n))/(1/n)^2 *n^(k/5-2)$
e l'ultimo limite è $=0$ se e solo se $k/5-2<0$, ovvero se $k<10$. Quindi se vuoi avere una chance di applicare Leibniz, già sai che non puoi prendere $k>=10$, ma devi limitarti a $k<10$.
Per completare l'opera e dichiarare applicabile il criterio, bisogna mostrare che $a_n$ decresce.
Guardiamo gli $a_n$: detta $f(x):=(1-cos x)x^(-k/5)$, l'applicazione $n\mapsto a_n$ la puoi scrivere come funzione composta:
$a_n=f(1/n)$
con la componente interna $n\mapsto 1/n$ strettamente decrescente; se riuscissimo a far vedere che (almeno in un intorno destro di $0$) la $f$ è crescente, la funzione composta $a_n=f(1/n)$ sarebbe decrescente come vogliamo.
Per vedere se $f$ è crescente deriviamo: otteniamo:
$f'(x)=1/5x^(-k/5-1)*\{5xsinx-k(1-cosx)\}$
da cui:
$f'>=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5/k x>= (1- cos x)/(sin x)$;
notiamo che $k<10 => 1/k>1/10 => 5/k >1/2$ quindi $5/kx>=1/2 x$ per $x>=0$, cosicché per stabilire se vale la disuguaglianza $5/k x>= (1- cos x)/(sin x)$ per $x>=0$ basta stabilire se risulta:
$1/2x >= (1- cos x)/(sin x) \quad \Leftrightarrow 1/2x-(1- cos x)/(sin x) >=0 \quad $(*).
La funzione al primo membro dell'ultima disuguaglianza è continua per $x \in [0,pi[$, derivabile in $]0,pi[$ con derivata positiva, cosicché essa è crescente e perciò si ha:
$1/2x-(1- cos x)/(sin x)>=lim_(x\to 0^+) 1/2x-(1- cos x)/(sin x) =0$
che è la (*).
Ne consegue che $f'>=0$ in $[0,pi[$, ossia che $f$ è crescente in $[0,pi[$.
Visto che $a_n=f(1/n)$ e che $AAn \in NN,\ 1/n \in [0,pi[$, si ha $a_(n+1)=f(1/(n+1))
Ti prego di controllare i conti, che ho fatto di corsa e potrei aver commesso qualche errore grossolano.
Poi fammi sapere.
Ho finalmente capito come fare!!
Ti ringrazio!
P.S. questo è stato dato nella prima prova in itinere di analisi I dove, almeno da noi, non sono comprese le derivate. E' per questo motivo che avevo pensato di usare il criterio del confronto anche se erano serie a termini di segno, perché non riuscivo a venirne fuori.
Ti ringrazio!
P.S. questo è stato dato nella prima prova in itinere di analisi I dove, almeno da noi, non sono comprese le derivate. E' per questo motivo che avevo pensato di usare il criterio del confronto anche se erano serie a termini di segno, perché non riuscivo a venirne fuori.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo