Studiare apertura e limitatezza
Ciao a tutti, ho un dubbio su questo esercizio.
Sia $X={(x,y)inRR^2 : x in(-infty,1),|y|<=e^x}$. Determina se X è chiuso, aperto, limitato, o illimitato.
Allora, per prima cosa lo disegno. Purtroppo non riesco a postarlo ma esce una specie di campana orizzontale, chiusa ai fianchi dalle curve degli esponenziali e con il lato destro aperto.
Ora, sicuramente non è aperto, poiché non coincide con l'insieme dei suoi punti interni; ma non è nemmeno chiuso, visto che parte del suo bordo non appartiene all'insieme.
Il mio dubbio sta invece nella limitatezza: a sinistra le due curve stringono la funzione fino allo zero, ma senza mai raggiungerlo effettivamente. Dunque si può dire che sia illimitato? Mi rendo conto che è un dubbio stupido ma mi ci sono bloccato sopra
grazie a chi mi darà una mano!
Sia $X={(x,y)inRR^2 : x in(-infty,1),|y|<=e^x}$. Determina se X è chiuso, aperto, limitato, o illimitato.
Allora, per prima cosa lo disegno. Purtroppo non riesco a postarlo ma esce una specie di campana orizzontale, chiusa ai fianchi dalle curve degli esponenziali e con il lato destro aperto.
Ora, sicuramente non è aperto, poiché non coincide con l'insieme dei suoi punti interni; ma non è nemmeno chiuso, visto che parte del suo bordo non appartiene all'insieme.
Il mio dubbio sta invece nella limitatezza: a sinistra le due curve stringono la funzione fino allo zero, ma senza mai raggiungerlo effettivamente. Dunque si può dire che sia illimitato? Mi rendo conto che è un dubbio stupido ma mi ci sono bloccato sopra
grazie a chi mi darà una mano!
Risposte
Take the sequence $\{a_k\}$ defined by $a_k=(-k,0)$. The norm of its points goes to $\infty$ and it is contained in $X$. Then, $X$ is not bounded. And, of course, it is not open nor closed.
Thank you.
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