Studiare al variare di $\alpha$ reale, la convergenza...
Studiare al variare di $\alpha$ reale, la convergenza dell'integrale improprio:
$\int_0^\infty \frac{(4x + 3\sqrt{x})^\alpha}{\sqrt{x}(x + 4)^{2\alpha}} \text {d}x$
Ragazzi io con questi tipi di esercizi mi trovo in difficoltà, devo usare il criterio del confronto? fare il limte? per $x$ che tende dove? Grazie per l'aiuto!!
$\int_0^\infty \frac{(4x + 3\sqrt{x})^\alpha}{\sqrt{x}(x + 4)^{2\alpha}} \text {d}x$
Ragazzi io con questi tipi di esercizi mi trovo in difficoltà, devo usare il criterio del confronto? fare il limte? per $x$ che tende dove? Grazie per l'aiuto!!
Risposte
Dovresti sapere che in questi esercizi lo spartiacque è la funzione $1/(x^(\beta))$ dove $\beta = 1$
All'infinito, deve essere $\beta > 1$ per far convergere l'integrale, mentre nello zero deve essere $\beta < 1$ per far convergere l'integrale.
A questo punto dovresti prendere la tua funzione, tramite gli o-piccoli ricondurti a una forma tipo quella che ho scritto e quindi applicare le restrizioni per $\beta$
All'infinito, deve essere $\beta > 1$ per far convergere l'integrale, mentre nello zero deve essere $\beta < 1$ per far convergere l'integrale.
A questo punto dovresti prendere la tua funzione, tramite gli o-piccoli ricondurti a una forma tipo quella che ho scritto e quindi applicare le restrizioni per $\beta$
con gli o-piccoli mi verrebbe da scrivere che $(4x + 3\sqrt{x}) \ sim 3\sqrt{x})$
ma al denominatore come mi comporto?
ma al denominatore come mi comporto?
Aspetta, gli o-piccolo sono un po' "traditori" perchè cambiano il loro comportamento se si studia la funzione all'infinito o nell'intorno dello zero.
Es: $f(x)=x+x^2$
per $x \to 0$ abbiamo $f(x) = x + o(x)$
ma per $x \to +oo$ abbiamo $f(x)=x^2+o(x^2)$
a zero si raccoglie la "x" con esponente più piccolo, a infinito con esponente più grande.
Es: $f(x)=x+x^2$
per $x \to 0$ abbiamo $f(x) = x + o(x)$
ma per $x \to +oo$ abbiamo $f(x)=x^2+o(x^2)$
a zero si raccoglie la "x" con esponente più piccolo, a infinito con esponente più grande.
Quintizio quello che mi hai detto l'ho capito, però non riesco a capire se devo considerare $x \rightarrow 0$ oppure $x \rightarrow \ + \infty$ Dato un integrale $\int_0^\infty...$ da dove devo cominciare?
$[(x->0^+) rarr (f(x)~~x^(alpha/2-1/2))] ^^ [(x->+oo) rarr (f(x)~~x^(-alpha-1/2))]$
$\{(alpha/2-1/2 > -1),(-alpha-1/2 < -1):} rarr \{(alpha > -1),(alpha > 1/2):} rarr [alpha>1/2]$
$\{(alpha/2-1/2 > -1),(-alpha-1/2 < -1):} rarr \{(alpha > -1),(alpha > 1/2):} rarr [alpha>1/2]$
@speculor se ti dicessi di non aver capito?
Al di là di questo esercizio, come devo agire per risolvereb problemi del genere? Purtroppo la tua risposta non l'ho capita! Si deve andare a guardare $f(x)$ a $0$ e $\infty$ ? Spero di capirli presto questi esercizi!!!
Grazie a tutti
Al di là di questo esercizio, come devo agire per risolvereb problemi del genere? Purtroppo la tua risposta non l'ho capita! Si deve andare a guardare $f(x)$ a $0$ e $\infty$ ? Spero di capirli presto questi esercizi!!!
Grazie a tutti
"davidedesantis":
Spero di capirli presto questi esercizi!!!
Grazie a tutti
Tu devi andare avanti a passi piccoli (non solo tu, del resto).
Guarda questo integrale e chiediti se converge:
$\int^10_1 x\ dx$ converge ? Si, no, non si sa ?
Questo ?
$\int^(+oo)_1 x\ dx$ converge ? Si, no, non si sa ?
$\int_1^10 x\ \text{d}x$ Questo è un integrale improprio in cui l'intervallo è limitato e $f(x)$ invece è illimitata? Bisogna vedere se diverge o converge per i seguenti estremi di integrazione? Se così fosse sia in $1$ che in $10$ è convergente no?
Mentre $\int_1^\infty x\ \text{d}x$ per $x \rightarrow \infty$ è divergente giusto? Quindi si deve dire:
$\lim_(b->\infty)\ \int_1^\b x\ \text{d}x$ = $ \frac{x^2}{2}|_1^b = \frac{b^2}{2} - \frac{1}{2} = \infty $ diverge?
Mentre $\int_1^\infty x\ \text{d}x$ per $x \rightarrow \infty$ è divergente giusto? Quindi si deve dire:
$\lim_(b->\infty)\ \int_1^\b x\ \text{d}x$ = $ \frac{x^2}{2}|_1^b = \frac{b^2}{2} - \frac{1}{2} = \infty $ diverge?
attento a non fare pasticci:
punto primo:
axes(1,1,"labels");
line([1,1],[10,10]);
stroke="cadetblue";
var x=20;
var x1=x;
for (x=20; x<=200; x++) {
x1 = 0.05*x;
line([x1,0 ], [x1, x1]);
text([1.5,7.5], "f(x)=x");
}[/asvg]intervallo limitato, funzione limitata e continua. questo non è un integrale improprio.
punto secondo:
punto primo:
"davidedesantis":[asvg]xmin = -1; xmax = 12; ymin = -1; ymax = 11;
$\int_1^10 x\ \text{d}x$ Questo è un integrale improprio in cui l'intervallo è limitato e $f(x)$ invece è illimitata?
axes(1,1,"labels");
line([1,1],[10,10]);
stroke="cadetblue";
var x=20;
var x1=x;
for (x=20; x<=200; x++) {
x1 = 0.05*x;
line([x1,0 ], [x1, x1]);
text([1.5,7.5], "f(x)=x");
}[/asvg]intervallo limitato, funzione limitata e continua. questo non è un integrale improprio.
punto secondo:
"davidedesantis":la funzione potrebbe non essere limitata in un punto dell'intervallo, anche non in un estremo.
Bisogna vedere se diverge o converge per i seguenti estremi di integrazione?
"davidedesantis":
Al di là di questo esercizio, come devo agire per risolvere problemi del genere? Purtroppo la tua risposta non l'ho capita! Si deve andare a guardare $f(x)$ a $0$ e $\infty$?
Certamente. In ogni modo, visto che dovresti essere abbastanza ferrato nel determinare l'ordine di infinitesimo o di infinito di una funzione, mi sembra che tu abbia fatto numerosi esercizi in merito, sappi che, quando $[x->oo]$ devi determinare l'ordine di infinitesimo, quando $[x->x_0]$ devi determinare l'ordine di infinito. Infine, confrontare rispettivamente con l'infinitesimo campione $[1/x^alpha]$ per $[x->oo]$ e l'infinito campione $[1/(x-x_0)^alpha]$ per $[x->x_0]$ che, al variare di $[alpha]$, discriminano la convergenza del corrispondente integrale generalizzato. Voglio dire, se sai calcolare l'ordine di infinitesimo o di infinito di una funzione, argomento che dovresti avere già affrontato nel calcolo dei limiti, il gioco è fatto. Nella fattispecie, dovresti determinare l'ordine di infinitesimo per $[x->+oo]$ e l'ordine di infinito per $[x->0^+]$ della funzione $f(x)=(4x+3sqrtx)^alpha/(sqrtx(x + 4)^(2alpha))$. E allora, non dovresti avere particolari difficoltà nel ricavare $[(x->0^+) rarr (f(x)~~x^(alpha/2-1/2))] ^^ [(x->+oo) rarr (f(x)~~x^(-alpha-1/2))]$, i risultati del mio post precedente.
Grande grande molto più chiaro! Se gli estremi di integrazione fossero stati $1$ e $\infty$ avrei dovuto calcolare in questo caso solo l'ordine di infinito?
Non è il contrario?
Quel $-(\alpha + \frac{1}{2})$ come ti fa a venire col $-$ ?
Sappi che, quando $[x->oo]$ devi determinare l'ordine di infinitesimo, quando $[x->x_0]$ devi determinare l'ordine di infinito.
Non è il contrario?
E allora, non dovresti avere particolari difficoltà nel ricavare $[(x->+oo) rarr (f(x)~~x^(-alpha-1/2))]$
Quel $-(\alpha + \frac{1}{2})$ come ti fa a venire col $-$ ?
"davidedesantis":
Se gli estremi di integrazione fossero stati $1$ e $\infty$ avrei dovuto calcolare in questo caso solo l'ordine di infinito?
Stai facendo confusione. Avresti dovuto calcolare solo l'ordine di infinitesimo per $[x->+oo]$. Del resto, come può convergere l'integrale, rappresentare cioè un'area finita, se il limite per $[x->+oo]$ della funzione non è $[0]$? Inoltre, in generale, devi stare attento agli eventuali asintoti verticali della funzione. Certo, se sposti l'estremo di integrazione da $[0]$ a $[1]$, non hai più il problema in $[0]$. Viceversa, se l'avessi spostato da $[0]$ a $[-5]$, allora avresti avuto un problema in più, l'eventuale asintoto verticale in $[x=-4]$. In questi casi, ovviamente, devi studiare l'ordine di infinito, visto che si parla di asintoto verticale.
"davidedesantis":
Non è il contrario?
Ripeto, stai facendo confusione. Valgono le stesse argomentazioni di cui sopra.
"davidedesantis":
Quel $-(\alpha + \frac{1}{2})$ come ti fa a venire col $-$ ?
Ho controllato diverse volte. Mi sembravano corretti. Riassumendo, ho l'impressione che tu confonda il concetto di ordine di infinitesimo o di infinito con il valore al quale tende la $[x]$. Quei concetti si applicano alla variabile dipendente, la $[y]$ per intenderci, il valore a cui tende la $[x]$ non ha nessuna importanza.
http://www.matematicamente.it/forum/trovare-l-ordine-di-infinitesimo-e-corretto-t87033.html
Speculor perchè qui allora ho scritto
Comunque il tuo discorso l'ho capito, grazie
Speculor perchè qui allora ho scritto
Determinare l'ordine di infinitesimo (se esiste) delle seguenti funzioni, per \(\displaystyle x \rightarrow 0 \)
Comunque il tuo discorso l'ho capito, grazie
"davidedesantis":
Perchè qui allora ho scritto...
Puro caso, anche se abbastanza frequente. Pur facendo degli esempi banali, avrebbero potuto chiederti l'ordine di infinitesimo di $[f(x)=(x-2)^2]$ per $[x->2]$, l'ordine di infinitesimo di $[f(x)=(x+5)^6]$ per $[x->-5]$, infine l'ordine di infinitesimo di $[f(x)=1/(x^2+1)]$ per $[x->oo]$. Evidentemente, è importante che, per $[x->x_0]$ oppure per $[x->oo]$, la funzione tenda effettivamente a $[0]$. Altrimenti, che razza di infinitesimo sarebbe!
Ah ecco perchè mi confondevo!! vero l'importante è dove va la funzione a prescindere da dove la $x$ tende...Sei stato molto gentile...alla prossima! 
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