Studiare al variare di $a$ la convergenza dell'int improprio

[smaug1]

$\int_1^oo \frac{(1 - \cos (1/x))^a}{x^2 + 2\sqrt{x} + x \sin x} $ con $a \in \mathbb{R}$

Mi potete far vedere cosa cambia se $a$ non è più solamente positivo ma potrebbe essere negativo?

Perchè io lo svolgerei così: $f(x) \sim (1 / x^(2a)) / x^2$ utilizzando il limite notevole per il coseno in quanto $1/x -> 0$ e al denominatore ho semplicemente detto che $x^2$ è il termine dominante. Allora ho $\sim \1 / x^(2a + 2)$ Ma il fatto che $a$ può essere negativo o positivo, in questo tipo di esercizi deve essere considerato adesso giusto? Quindi non vale più solo la regola che l'integrale converge per $a> - 1/2 ? $ cioè quando $(2a + 2) > 1$?

Grazie infinite

[smaug1]

Qualcuno mi aiuta per favore? la funzione in $1$ non ha problemi, ma a $+ oo$ sì.

$f(x) \sim 1 / x^(2a+2)$ siccome $a \in \mathbb{R}$ devo dire:

$1.$

$a= 0$ $f(x) \sim 1 / x^2$ e converge

$2.$

$a > 0$ converge solo se $2a + 2 > 1$ cioè se $a > -1 /2$ e quindi dopo zero converge??

$3.$

$a<0$ la funzione di partenza a cosa è asintotica? sempre a quello che ho scritto? non credo..grazie

forse $f(x) \sim x^{2a} / x^2 \sim 1 / (x^{2 - 2a})$ cioè converge per $2-2a > 1$ ovvero $a < 1/2$

in totale l'integrale verrebbe convergente $\forall a \in \mathbb{R}$?

[ciampax]

L'unico problema si ha per $x\to+\infty$: in questo caso a numeratore si ha

$(1-\cos(1/x))^\alpha\sim 1/{2^\alpha x^{2\alpha}}$

mentre a denominatore $x^2+\sqrt{x}+x\sin x\sim x^2$

ne segue che la funzione si comporta come

$1/{2^\alpha x^{2\alpha+2}}$

e quindi l'integrale converge per $2\alpha+2>1$ e cioè $\alpha> -1/2$.