Studi di serie
Mi confermate che le risoluzioni sono corrette?
Caso 1: studiare $ sum (1/arctan(n!)+3/n)^n*a^n*arctan((an)/(bn)) $ al variare di $a>0$ e $b>0$
Io pongo $a$ e $b$ uguali a $1$, dopodiche' studio il caso.
Diventa $ sum (1/arctan(n!)+3/n)^n*1^n*arctan(1) $
Ovvero $ sum (1/arctan(n!)+3/n)^n*a^n*pi/4) $
$pi/4$ e' una costante, quindi la metto fuori dalla sommatoria.
Pongo $ (1/arctan(n!)+3/n)^n = cn^n$, e $1^n$ come $x^n$.
Risultato: $pi/4 * sum (cn*x)^n$, serie di potenze. Cerco il raggio di convergenza: $R=1/2$, $L= lim_(n->oo) cn^(1/n) = 2/pi$
$R=pi/2$, a questo punto $x=1$, $1<=pi/2 $ e quindi la serie converge.
Caso 2: studiare $ sum cn*b^n*arctan(1/(bn)) $ al variare di $b>0$
qui ci sono due sottosuccessioni: $cn*b^n$ e $arctan(1/(bn))$. La prima e' una serie di potenze: rifacendoci al caso 1, il raggio di convergenza e' $pi/2$, quindi la serie $cn$ converge se $bpi/2$.
La seconda e' $arctan(1/(bn))$, che diverge se $0=1$.
Risultato: se $1pi/2$ la serie diverge.
Caso 3: studiare $ sum cn*b^n*arctan((an)/(bn)) $ al variare di $a>0$ e $b>0$
Per $cn*b^n$, lo studio e' identico al caso 2;<
per $arctan((an)/(bn))$, va visto il comportamento del rapporto: se $an$ e $bn$ convergono, anche $arctan((an)/(bn))$ converge, e viceversa.
$an$ e $bn$ convergono quando sono compresi tra $0$ e $1$, e divergono quando sono maggiori di $1$.
Risultato: se $01$ e:
$b>1$, indeterminata
$b
Ci sono particolari errori? Grazie anticipatamente
Caso 1: studiare $ sum (1/arctan(n!)+3/n)^n*a^n*arctan((an)/(bn)) $ al variare di $a>0$ e $b>0$
Io pongo $a$ e $b$ uguali a $1$, dopodiche' studio il caso.
Diventa $ sum (1/arctan(n!)+3/n)^n*1^n*arctan(1) $
Ovvero $ sum (1/arctan(n!)+3/n)^n*a^n*pi/4) $
$pi/4$ e' una costante, quindi la metto fuori dalla sommatoria.
Pongo $ (1/arctan(n!)+3/n)^n = cn^n$, e $1^n$ come $x^n$.
Risultato: $pi/4 * sum (cn*x)^n$, serie di potenze. Cerco il raggio di convergenza: $R=1/2$, $L= lim_(n->oo) cn^(1/n) = 2/pi$
$R=pi/2$, a questo punto $x=1$, $1<=pi/2 $ e quindi la serie converge.
Caso 2: studiare $ sum cn*b^n*arctan(1/(bn)) $ al variare di $b>0$
qui ci sono due sottosuccessioni: $cn*b^n$ e $arctan(1/(bn))$. La prima e' una serie di potenze: rifacendoci al caso 1, il raggio di convergenza e' $pi/2$, quindi la serie $cn$ converge se $b
La seconda e' $arctan(1/(bn))$, che diverge se $0
Risultato: se $1
Caso 3: studiare $ sum cn*b^n*arctan((an)/(bn)) $ al variare di $a>0$ e $b>0$
Per $cn*b^n$, lo studio e' identico al caso 2;<
per $arctan((an)/(bn))$, va visto il comportamento del rapporto: se $an$ e $bn$ convergono, anche $arctan((an)/(bn))$ converge, e viceversa.
$an$ e $bn$ convergono quando sono compresi tra $0$ e $1$, e divergono quando sono maggiori di $1$.
Risultato: se $0
$b>1$, indeterminata
$b
Ci sono particolari errori? Grazie anticipatamente
Risposte
"ClarkSt":
Risultato: $pi/4 * sum (cn*x)^n$, serie di potenze.
$\sum_{n=1}^{oo} (cn*x)^n$ non è una serie di potenze.
Mi sono scordato, in tutti i passaggi, di scrivere che $cn$ sarebbe in realta' $cn^n$.
Correggo...
"ClarkSt":
$ sum (1/arctan(n!)+3/n)^n*a^n*arctan((an)/(bn)) $ al variare di $a>0$ e $b>0$
Penso che tu debba rivedere il testo qui sopra; il fatto che $arctan((an)/(bn))=\arctan(a/b)$ mi induce a pensare che ci sia qualcosa che non va.
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