Studi di funzione
1. Si consideri la funzione
$ f(x) = 2x^3 - 12 x^2 + 1 $
a) Dire dove f(x) e crescente e dove e decrescente.
b) Dire dove f(x) ha concavita verso l'alto e dove verso il basso.
c) Calcolare massimo e minimo assoluti di f(x) nell'intervallo [2; 6].
______________
a)
$ f'(x) = 6x^2-24x $
$ 6x^2-24x>0 $
$ x=0; x=4 $
Crescente -inf4
Decrescente 0
b)
$ f''(x)=12x-24 $
\( 12x-24\unrhd0 \)
\( x\unrhd 2 \)
Concavità verso il basso = convessa? se si allora \( x\unrhd 2 \)
Concavità verso l'alto = concava? se si allora \( x\lhd 2 \)
c)non mi è ben chiaro come fare questo...
$ f(x) = 2x^3 - 12 x^2 + 1 $
a) Dire dove f(x) e crescente e dove e decrescente.
b) Dire dove f(x) ha concavita verso l'alto e dove verso il basso.
c) Calcolare massimo e minimo assoluti di f(x) nell'intervallo [2; 6].
______________
a)
$ f'(x) = 6x^2-24x $
$ 6x^2-24x>0 $
$ x=0; x=4 $
Crescente -inf
Decrescente 0
b)
$ f''(x)=12x-24 $
\( 12x-24\unrhd0 \)
\( x\unrhd 2 \)
Concavità verso il basso = convessa? se si allora \( x\unrhd 2 \)
Concavità verso l'alto = concava? se si allora \( x\lhd 2 \)
c)non mi è ben chiaro come fare questo...
Risposte
In che senso non ti è ben chiaro? Cosa penseresti di fare?
"axpgn":
In che senso non ti è ben chiaro? Cosa penseresti di fare?
Io proverei a trovarmi f(2) ed f(6) dopo quello che da risultato maggiore è il massimo maggiore e viceversa però non mi sembra molto tecnica come cosa
Dato che è continua e derivabile in tutto l'intervallo non ci sono punti "strani" da osservare quindi massimi e minimi si potranno trovare dove la derivata prima si annulla e negli estremi. Verifica la funzione in quei punti e poi concludi.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Dato che è continua e derivabile in tutto l'intervallo non ci sono punti "strani" da osservare quindi massimi e minimi si potranno trovare dove la derivata prima si annulla e negli estremi. Verifica la funzione in quei punti e poi concludi.
Cordialmente, Alex
ma se i massimi e minimi si possono trovare dove la derivata si annulla non si parla di punti stazionari?
Bhe ora che ci penso un punto di massimo\minimo non può non essere un punto stazionario
Comunque allora basta fare la derivata prima
\( f(x)=2x3−12x2+1 \)
\( f'(x)=6x^2-24x \)
\( f'(x)=6x^2-24x => x=0, x=4 \)
Quindi x=0 è il minimo assoluto e x=4 il massimo assoluto?
Solo che ora io mi ricordavo che noi invece che uguagliare a zero mettevamo >0 così poi dal grafico (concordi esterni) saltava fuori che x=0 è il minimo è x=4 il massimo mmmm
Non capisco perchè dici che in $x= 0$ ci sia un minimo e in $x=4$ un massimo, da che cosa lo deduci?
Ti sei già accorto che il primo è un minimo e il secondo un massimo...
Ti sei già accorto che il primo è un minimo e il secondo un massimo...
Guarda che il punto $x=0$ non fa parte dell'intervallo in questione, quindi non ci interessa ...
Poi, come ti ha fatto notare gio73, da cosa hai dedotto che uno è un minimo è l'altro un massimo? Non potrebbe essere il contrario? Inoltre ti ho suggerito di verificare cosa succede alla funzione negli estremi ...
Cordialmente, Alex
Poi, come ti ha fatto notare gio73, da cosa hai dedotto che uno è un minimo è l'altro un massimo? Non potrebbe essere il contrario? Inoltre ti ho suggerito di verificare cosa succede alla funzione negli estremi ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Guarda che il punto $x=0$ non fa parte dell'intervallo in questione, quindi non ci interessa ...
Poi, come ti ha fatto notare gio73, da cosa hai dedotto che uno è un minimo è l'altro un massimo? Non potrebbe essere il contrario? Inoltre ti ho suggerito di verificare cosa succede alla funzione negli estremi ...
Cordialmente, Alex
Purtroppo ho fatto un errore di distrazione infatti è il contrario:
\(\displaystyle f(x)=2x^3-12x^2+1 \)
\(\displaystyle f'(x)=6x^2-24x \)
\(\displaystyle f'(x)=0 => x1=0, x2=4 \)
Concordi esterni, \(\displaystyle Xm=4, XM=0 \)
Provo a vedere cosa succede alla funzione negli estremi,
Devo fare il limite per x che tende a "2meno" e limite di x che tende a "6più" di f(x)?
limx->2meno = \(\displaystyle 2^4-3(2^4)+1= negativo \)
limx->6più = \(\displaystyle 2(6^3)-2(6^3)+1= positivo \)
bhe il primo viene un numero negativo, il secondo positivo, non riesco a capire a cosa mi serve...
Comunque per rispondere al quesito c) dato che x=0 non è contenuto nell'intervallo possiamo dire che c'è solo un punto di minimo assoluto che è x=4 giusto?
Prima di fare affermazioni "avventate" DEVI verificare cosa succede agli estremi dell'intervallo.
La funzione è definita negli estremi, quindi NON ti serve calcolare il limite in tali punti ma devi, semplicemente, calcolare la funzione
Perché devi verificare cosa succede agli estremi dell'intervallo? Perché i valori in quei punti (o nelle vicinanze ...
) possono essere maggiori o minori dei valori che hai trovato dove la derivata si annulla.
Cordialmente, Alex
La funzione è definita negli estremi, quindi NON ti serve calcolare il limite in tali punti ma devi, semplicemente, calcolare la funzione
Perché devi verificare cosa succede agli estremi dell'intervallo? Perché i valori in quei punti (o nelle vicinanze ...
) possono essere maggiori o minori dei valori che hai trovato dove la derivata si annulla.Cordialmente, Alex
[xdom="gio73"]DigYourOwnHole, modifica il tuo ultimo post sostituendo alle immagini i passaggi scritti con le formule[/xdom]
Le immagini dopo un po'non si caricano più e il thread perderebbe parte del suo significato
Le immagini dopo un po'non si caricano più e il thread perderebbe parte del suo significato
"axpgn":
Prima di fare affermazioni "avventate" DEVI verificare cosa succede agli estremi dell'intervallo.
La funzione è definita negli estremi, quindi NON ti serve calcolare il limite in tali punti ma devi, semplicemente, calcolare la funzione
Perché devi verificare cosa succede agli estremi dell'intervallo? Perché i valori in quei punti (o nelle vicinanze ...
Cordialmente, Alex
Bha, farò finta di aver capito
"gio73":
[xdom="gio73"]DigYourOwnHole, modifica il tuo ultimo post sostituendo alle immagini i passaggi scritti con le formule[/xdom]
Le immagini dopo un po'non si caricano più e il thread perderebbe parte del suo significato
Bhe le immagini erano state hostate su tinypic ad ogni modo fatto, ma del grafico non se ne parla di farlo via geonext
"DigYourOwnHole":
Bha, farò finta di aver capito
Mattacchione ...
Allora, prendiamo la tua funzione e guardiamola in tutto il suo dominio: facendo la derivata prima, ti accorgi che si annulla in due punti; questo significa che la funzione originaria in quel punto non sale ne scende, per capirne di più osservi come si comporta la derivata prima e dopo quel punto: se negativa prima e positiva poi, significa che la funzione prima scende e poi risale, come in un fondovalle e quindi in quel punto avrai un "minimo" della funzione, e viceversa in caso contrario. Potrebbe anche succedere che la derivata non cambi segno tra prima e dopo, ed in quel caso non avresti ne minimo, ne massimo (come un falsopiano mentre stai salendo in montagna).
Dunque così facendo hai appurato che nei punti in cui la derivata prima si annulla potresti avere dei minimi/massimi, ma quello che hai fatto è sufficiente per dire "questi sono anche dei minimi/massimi assoluti?" cioè che valgono su TUTTO l'intervallo che stai studiando? No, non è sufficiente.
Osserviamo la tua funzione lungo tutto il suo dominio: per $x$ che va a $infty$, anche la funzione va a $infty$, quindi il massimo in $x=0$ e il minimo in $x=4$ valgono solo nei "dintorni" di quei punti (per questo sono detti locali) ma non per tutto l'intervallo studiato (allora sarebbero assoluti).
Nel tuo caso l'intervallo da studiare è $[2,6]$ quindi gli estremi da "tenere d'occhio" saranno $2$ e $6$; cioè devi calcolare la funzione in tali estremi (dato che lì la funzione è definita, altrimenti avresti dovuto studiare il limite) e confrontarla con i massimi/minimi locali che avevi già ottenuto.
Un po' più chiaro?
Cordilamente, Alex
"axpgn":
[quote="DigYourOwnHole"]Bha, farò finta di aver capito
Mattacchione ...
Allora, prendiamo la tua funzione e guardiamola in tutto il suo dominio: facendo la derivata prima, ti accorgi che si annulla in due punti; questo significa che la funzione originaria in quel punto non sale ne scende, per capirne di più osservi come si comporta la derivata prima e dopo quel punto: se negativa prima e positiva poi, significa che la funzione prima scende e poi risale, come in un fondovalle e quindi in quel punto avrai un "minimo" della funzione, e viceversa in caso contrario. Potrebbe anche succedere che la derivata non cambi segno tra prima e dopo, ed in quel caso non avresti ne minimo, ne massimo (come un falsopiano mentre stai salendo in montagna).
Dunque così facendo hai appurato che nei punti in cui la derivata prima si annulla potresti avere dei minimi/massimi, ma quello che hai fatto è sufficiente per dire "questi sono anche dei minimi/massimi assoluti?" cioè che valgono su TUTTO l'intervallo che stai studiando? No, non è sufficiente.
Osserviamo la tua funzione lungo tutto il suo dominio: per $x$ che va a $infty$, anche la funzione va a $infty$, quindi il massimo in $x=0$ e il minimo in $x=4$ valgono solo nei "dintorni" di quei punti (per questo sono detti locali) ma non per tutto l'intervallo studiato (allora sarebbero assoluti).
Nel tuo caso l'intervallo da studiare è $[2,6]$ quindi gli estremi da "tenere d'occhio" saranno $2$ e $6$; cioè devi calcolare la funzione in tali estremi (dato che lì la funzione è definita, altrimenti avresti dovuto studiare il limite) e confrontarla con i massimi/minimi locali che avevi già ottenuto.
Un po' più chiaro?
Cordilamente, Alex[/quote]
Grazie della pazienza, ho capito che con la derivata prima uguagliata a zero mi trovo i punti che hanno tangenza zero, come l'asse delle ascisse, ora, quello che continua a non essermi chiaro è:
-calcolando la funzione negli estremi mi ritrovo $ f(2)=-31 $ ed $ f(6)=1 $ ora, f(2) sicuramente è inutile, al massimo mi dice che per x=2 sicuramente non ci sta un massimo dato che la f(x) è negativa mentre per f(6)=1 questo mi dice che è esattamente uguale a f(0) (del minimo che mi ero trovato con la derivata prima) quindi ora mi è venuto il dubbio del perché x=6 non sia venuto fuori con la derivata prima... cioè la deri
-sti punti di massimo/minimo assoluto come diavolo si trovano
-una domanda che magari non dovrei nemmeno chiedere (non è direttamente collegata all'esercizio), ma lo faccio: differenza tra limite di x=c ed f(c) sta nel? cioè ora che ci penso quando facciamo il limite di x che tende a c e come se sostituissimo la x a c e quindi f(c), perché sta notazione mmm.
Per i matematici: E' severamente vietato uccidere individui solo per mancata conoscenza matematica
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Tranquillo. 
Prima di tutto un consiglio: prova a rileggerti con calma quello che ho scritto prima e poi, casomai, posta quello che non ti è chiaro, meglio se uno per volta, altrimenti vai in confusione
Domanda: hai capito perchè nei punti in cui la derivata si annulla (cioè la pendenza della funzione è nulla) POSSONO esserci dei minimi/massimi?
La risposta l'ho scritta prima; se non ti è chiara, dimmi cosa ...
Domanda: se in quei punti esistono dei minimi/massimi, perché possono NON essere dei minimi/massimi assoluti? Perchè la funzione nei punti estremi POTREBBE avere un valore minore/maggiore di quelli che hai trovato nei minimi/massimi locali.
La tua funzione nel punto $x=4$ ha un minimo poi riprende a salire, e continuerà a salire sempre quindi non ci sarà mai un massimo per quella funzione. E viceversa sul lato opposto. Per questo quella funzione non avrà ne un minimo ne un massimo assoluti.
Il tuo esercizio però ti chiede di osservare solo l'intervallo $[2,6]$. Il punto $x=4$ appartiene a questo intervallo e perciò ci interessa; osserviamo cosa accade alla funzione prima e dopo quel punto: se mi sposto a sinistra la funzione salirà sempre fino a $6$, anche se mi sposto a destra la funzione continua a salire fino a $x=2$ (perchè so che salirà fino al massimo in $x=0$). Quindi se sale sia destra che a sinistra sono sicuro che nel mio punto $x=4$ avrò un minimo assoluto. Inoltre, sempre da questa constatazione, capisci che il massimo assoluto lo troverò o in $x=2$ o in $x=6$: mi calcolo la funzione in questi due punti e il punto dove troverò il valore più alto sarà il massimo assoluto della mia funzione in quell'intervallo.
Perchè talvolta calcoliamo il limite invece che la funzione? Lo calcoliamo quando non possiamo calcolare la funzione
Per esempio il dominio di questa non ha "confini" (è tutto $R$) quindi non esiste un punto in cui calcolarne il valore, perciò si calcola il limite agli estremi.
Cordialmente, Alex
Prima di tutto un consiglio: prova a rileggerti con calma quello che ho scritto prima e poi, casomai, posta quello che non ti è chiaro, meglio se uno per volta, altrimenti vai in confusione
Domanda: hai capito perchè nei punti in cui la derivata si annulla (cioè la pendenza della funzione è nulla) POSSONO esserci dei minimi/massimi?
La risposta l'ho scritta prima; se non ti è chiara, dimmi cosa ...
Domanda: se in quei punti esistono dei minimi/massimi, perché possono NON essere dei minimi/massimi assoluti? Perchè la funzione nei punti estremi POTREBBE avere un valore minore/maggiore di quelli che hai trovato nei minimi/massimi locali.
La tua funzione nel punto $x=4$ ha un minimo poi riprende a salire, e continuerà a salire sempre quindi non ci sarà mai un massimo per quella funzione. E viceversa sul lato opposto. Per questo quella funzione non avrà ne un minimo ne un massimo assoluti.
Il tuo esercizio però ti chiede di osservare solo l'intervallo $[2,6]$. Il punto $x=4$ appartiene a questo intervallo e perciò ci interessa; osserviamo cosa accade alla funzione prima e dopo quel punto: se mi sposto a sinistra la funzione salirà sempre fino a $6$, anche se mi sposto a destra la funzione continua a salire fino a $x=2$ (perchè so che salirà fino al massimo in $x=0$). Quindi se sale sia destra che a sinistra sono sicuro che nel mio punto $x=4$ avrò un minimo assoluto. Inoltre, sempre da questa constatazione, capisci che il massimo assoluto lo troverò o in $x=2$ o in $x=6$: mi calcolo la funzione in questi due punti e il punto dove troverò il valore più alto sarà il massimo assoluto della mia funzione in quell'intervallo.
Perchè talvolta calcoliamo il limite invece che la funzione? Lo calcoliamo quando non possiamo calcolare la funzione
Per esempio il dominio di questa non ha "confini" (è tutto $R$) quindi non esiste un punto in cui calcolarne il valore, perciò si calcola il limite agli estremi.Cordialmente, Alex
Grazie, direi che ho capito
Prego, spero di esserti stato utile ...
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