Studi dell'incremento
Non riesco a concludere i seguenti due studi dell'incremento:
1) Sia $f(x,y)=x^4+x^2y+y^2$ definita in $R^2$ e con punto stazionario $(0,0)$. Dato l'hessiano nullo nel punto studio
se $h=0$: $k^2>0 AAk in R$
se $k=0$: $h^4>0 AAh in R$
se $k=h$: $h^4+h^3+h^2=h^2(h^2+h+1)->[Deltaf(0,0)<0]$ per $ h_(1,2)=(-1+-sqrt(1-4))/2 $
se $k=-h$: $h^4-h^3+h^2=h^2(h^2-h+1)->[Deltaf(0,0)<0]$ per $ h_(1,2)=(1+-sqrt(1-4))/2 $
per cui non so come andare avanti. Forse qualche altra restrizione?
2) Sia $f(x,y)=x^3-6xy+3y^2+3x$ definita in $R^2$ e con punto stazionario $(1,1)$. Dato l'hessiano nullo nel punto studio
se $h=0$: $3k^2-6k=3k(k-2)>0 ->k>2$
se $k=0$: $h^3+3h^2=h^2(h+3)>0->h> -3$
se $k=h$: $h^3-6h->[Deltaf(0,0)<0]$ per $ -2sqrt(3)
1) Sia $f(x,y)=x^4+x^2y+y^2$ definita in $R^2$ e con punto stazionario $(0,0)$. Dato l'hessiano nullo nel punto studio
$Deltaf(0,0)=f(0+h,0+k)-f(0,0)=f(h,k)=h^4+h^2k+k^2$
se $h=0$: $k^2>0 AAk in R$
se $k=0$: $h^4>0 AAh in R$
se $k=h$: $h^4+h^3+h^2=h^2(h^2+h+1)->[Deltaf(0,0)<0]$ per $ h_(1,2)=(-1+-sqrt(1-4))/2 $
se $k=-h$: $h^4-h^3+h^2=h^2(h^2-h+1)->[Deltaf(0,0)<0]$ per $ h_(1,2)=(1+-sqrt(1-4))/2 $
per cui non so come andare avanti. Forse qualche altra restrizione?
2) Sia $f(x,y)=x^3-6xy+3y^2+3x$ definita in $R^2$ e con punto stazionario $(1,1)$. Dato l'hessiano nullo nel punto studio
$Deltaf(1,1)=f(1+h,1+k)-f(1,1)=h^3+3h^2+3k^2-6k-6hk$
se $h=0$: $3k^2-6k=3k(k-2)>0 ->k>2$
se $k=0$: $h^3+3h^2=h^2(h+3)>0->h> -3$
se $k=h$: $h^3-6h->[Deltaf(0,0)<0]$ per $ -2sqrt(3)
Risposte
Ciao!
Il punto è banalmente di minimo. Considera $f(x,y)=y^2+yx^2+x^4$ e fissiamo un qualsiasi $c in RR$ considerando la funzione $g(y)=f(c,y)=y^2+yc^2+c^4$ e calcolando il delta di questa parabola avremo che
quindi comunque preso $c in RR$ si ha che $g(y)geq0$ per ogni $y in RR$
pertanto la funzione sarà $f(x,y)geq0, forall(x,y) in RR^2$ da cui la minimalità di $(0,0)$
se la cosa non ti convincesse basterebbe supporre l'esistenza di un certo $(t,s) in RR^2$ per cui $f(t,s)<0$ portando all'avere $s^2+st^2+t^4<0$ e potendo scrivere $s=zt^2$ si otterrebbe
da cui l'assurdo
Il punto è banalmente di minimo. Considera $f(x,y)=y^2+yx^2+x^4$ e fissiamo un qualsiasi $c in RR$ considerando la funzione $g(y)=f(c,y)=y^2+yc^2+c^4$ e calcolando il delta di questa parabola avremo che
$Delta=c^4-4c^4=-3c^4<0$
quindi comunque preso $c in RR$ si ha che $g(y)geq0$ per ogni $y in RR$
pertanto la funzione sarà $f(x,y)geq0, forall(x,y) in RR^2$ da cui la minimalità di $(0,0)$
se la cosa non ti convincesse basterebbe supporre l'esistenza di un certo $(t,s) in RR^2$ per cui $f(t,s)<0$ portando all'avere $s^2+st^2+t^4<0$ e potendo scrivere $s=zt^2$ si otterrebbe
$z^2t^4+zt^4+t^4=t^4(z^2+z+1)<0$
da cui l'assurdo
"anto_zoolander":
Ciao!
Il punto è banalmente di minimo. Considera $f(x,y)=y^2+yx^2+x^4$ e fissiamo un qualsiasi $c in RR$ considerando la funzione $g(y)=f(c,y)=y^2+yc^2+c^4$ e calcolando il delta di questa parabola avremo che
$Delta=c^4-4c^4=-3c^4<0$
quindi comunque preso $c in RR$ si ha che $g(y)geq0$ per ogni $y in RR$
pertanto la funzione sarà $f(x,y)geq0, forall(x,y) in RR^2$ da cui la minimalità di $(0,0)$
Grazie per la risposta. Ora è chiaro.
Sapresti aiutarmi anche con il secondo esercizio? Sulla bisettrice principale ottengo valori negativi tra $0$ e $+sqrt(6)$, che sarebbe il tratto che interessa l'intorno di $(1,1)$, ma non so se e quali altre restrizioni potrei usare per dimostrare che si tratta (magari) di un sella. Penso ad $h=1$: in questo modo avrei (per quanto mi hai detto prima) che $3k^2-6k+4>0 AAk$, e quindi ottenendo tutti valori positivi sulla retta $k=1$ si dimostrerebbe che è un punto di sella.
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