Struttura di un'equazione differenziale
I simboli +,-,* che compaiono in un'equazione differenziale non sono gli stessi che indicano le operazioni di somma, differenza e moltiplicazione, giusto?
I simboli +,-,* che compaiono in un'equazione differenziale sono degli operatori che associano a due funzioni un'altra funzione?
Grazie!
I simboli +,-,* che compaiono in un'equazione differenziale sono degli operatori che associano a due funzioni un'altra funzione?
Grazie!
Risposte
Non riesco a capire il senso della domanda.
Secondo te i simboli +,-,*,/ che compaiono in un'equazione differenziale, ad esempio $y''+3*y'+4x^2=0$ sono gli ordinari simboli che rappresentano le OPERAZIONI DI ADDIZIONE ecc...? Secondo me no. In questo caso quei simboli sono operatori che associano a coppie di funzioni altre funzioni.
"lisdap":
Secondo te i simboli +,-,*,/ che compaiono in un'equazione differenziale, ad esempio $y''+3*y'+4x^2=0$ sono gli ordinari simboli che rappresentano le OPERAZIONI DI ADDIZIONE ecc...? Secondo me no. In questo caso quei simboli sono operatori che associano a coppie di funzioni altre funzioni.
Non ho ancora studiato le equazioni differenziali, ma per quanto ne so i simboli che usi per le operazioni sui razionali sono gli stessi che scrivi tu, nell'equazione differenziale. Un'equazione differenziale che tutti gli studenti di Fisica conoscono ben prima di tutto il resto è
$d^2/dt^2 x + k x = 0$
Il suo significato è che per ogni istante fissato $t$ la somma del valore di quella derivata seconda, valutata in $t$, e del valore della funzione stessa, valutata in $t$ e moltiplicata per una costante $k$, è nulla.
Ma è una somma di numeri...
"lisdap":
Secondo te i simboli +,-,*,/ che compaiono in un'equazione differenziale, ad esempio $y''+3*y'+4x^2=0$ sono gli ordinari simboli che rappresentano le OPERAZIONI DI ADDIZIONE ecc...? Secondo me no. In questo caso quei simboli sono operatori che associano a coppie di funzioni altre funzioni.
Formalmente sono cose diverse, come dici tu: una somma di funzioni è cosa diversa da una somma di numeri.
Ma allora...?
Che c'entra ciò con la "struttura" di una EDO?
"gugo82":
[quote="lisdap"]Secondo te i simboli +,-,*,/ che compaiono in un'equazione differenziale, ad esempio $y''+3*y'+4x^2=0$ sono gli ordinari simboli che rappresentano le OPERAZIONI DI ADDIZIONE ecc...? Secondo me no. In questo caso quei simboli sono operatori che associano a coppie di funzioni altre funzioni.
Formalmente sono cose diverse, come dici tu: una somma di funzioni è cosa diversa da una somma di numeri.
Ma allora...?
Che c'entra ciò con la "struttura" di una EDO?[/quote]
SI perfetto! Io volevo solo far notare che i simboli +,-,*,/ che compaiono in un'equazione differenziale non sono i simboli di addizione, sottrazione ecc... SU NUMERI, MA SU FUNZIONI. Dunque, il + che sta in un'equazione diufferenziale è un operatore che ad esempio associa alla coppia di funzioni $x$ e $3x$ la funzione $4x$, alla coppia di funzioni $x^2$ e $9x$ la funzione $x^2+9x$ e cosi via.
ciao lisdap, è un'osservazione caruccia.
Il significato dei simboli \( +, \cdot ,-,/ \)varia a seconda delle strutture a cui ci si fa riferimento.
Esempio : Prendi $M_n(\mathbb{K})$ spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine $n$.
$+$ indica somma tra matrici
$*$ prodotto per scalare. Ho usato gli stessi simboli di uso comune, ma per oggetti diversi.
Il significato dei simboli \( +, \cdot ,-,/ \)varia a seconda delle strutture a cui ci si fa riferimento.
Esempio : Prendi $M_n(\mathbb{K})$ spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine $n$.
$+$ indica somma tra matrici
$*$ prodotto per scalare. Ho usato gli stessi simboli di uso comune, ma per oggetti diversi.
Ok, grazie Kashman. Altra domanda. Allo stesso modo, in un'equazione differenziale, il simbolo $4$ non rappresentà Né un numero né una funzione costante, ma è un operatore che associa ad ogni funzione $RR->RR$ la funzione costante $4$?
Grazie:)
Grazie:)
dipende, premetto che non so nulla di equazioni differenziali, quindi ti parlo un po sotto il punto di vista algebrico della questione. Lascio ad altri la formalizzazione del discorso.
Tuttavia, se prendi tutte le funzioni $f : RR -> RR$ , derivabili (lo dico in generale, l'importante è che siano tutte lo stesso tipo) puoi munire questo insieme di struttura di spazio vettoriale su $RR$. (immagino).
Quindi quel 4 puoi benissimo vederlo come elemento di $RR$ che moltiplica la funzione $f(X)$.
Sei d'accordo?
Tuttavia, se prendi tutte le funzioni $f : RR -> RR$ , derivabili (lo dico in generale, l'importante è che siano tutte lo stesso tipo) puoi munire questo insieme di struttura di spazio vettoriale su $RR$. (immagino).
Quindi quel 4 puoi benissimo vederlo come elemento di $RR$ che moltiplica la funzione $f(X)$.
Sei d'accordo?
Ciao, quindi per parlare di equazioni differenziali bisogna prima aver parlato di operatori che associano a funzioni (o coppie di funzioni) altre funzioni, giusto?
Definisci operatore...
Ciao, allora, quello che voglio dire è questo (scusa il poco rigore nella trattazione). Prendiamo una funzione di una variabile a valori reali, ad esempio $log(sin x^2)$. Questa è una funzione composta dalle funzioni elementari seno, logaritmo, potenza ecc.. Con questa funzione posso costruire una roba del tipo $log(sin x^2)=0$ e pormi la seguente domanda: per quali "input" la funzione $log(sin x^2)$ restituisce come "output" il numero zero? Quella roba che ho scritto prima è un'equazione e l'insieme degli input i cui output calcolati tramite $log(sin x^2)$ sono nulli rappresenta quelle che sono le soluzioni della mia equazione. Io credo che il concetto di equazione differenziale sia lo stesso. Dopo che sono venuti fuori i concetti tipici del calcolo differenziale, sono stati definite delle funzioni (dette operatori) che prendono in input funzioni di una variabile a valori reali e restituiscono funzioni di una variabile a valori reali. L'esempio più comune di operatore di questo tipo è l'operatore di derivazione, che prende in entrata una funzione di una variabile e restituisce la sua derivata. Ma ci sono anche altri operatori, ad esempio gli operatori identità (analoghi alla funzione identità), che ad esempio prendono in input la funzione seno e restituiscono la funzione seno, oppure gli operatori costanti ecc.. Poi c'è l'integrale indefinito, che non so se chiamarlo operatore visto che prende in input una funzione di una variabile e restituisce un iINSIEME DI FUNZIONI...però vabbè questo non c'entra ora con le EDO. Inoltre ci sono operatori, indicati con il simbolo $+,-,/,*$ (gli ordinari simboli delle quattro operazioni), che per esempio prendono in input la coppia di funzioni $(sin, cos)$ e restituiscono rispettivamente la funzione di una variabile a valori reali $sin+cos$, $sin-cos$ ecc...Gli operatori di cui finora ho parlato li considero l'analogo delle funzioni elementari. E così come è possibile combinare tra loro più funzioni elementari ed ottenere una funzione di una variabile a valori reali (la funzione composta), allo stesso modo è possibile combinare tra loro gli operatori elementari ed ottenere gli operatori che chiamerei "composti", che agiscono su una funzione di una variabile e restituiscono una funzione di una variabile. Facciamo un esempio. $y$ è l'operatore idenntità, $+$ l'operatore di somma, $y'$ l'operatore di derivata prima e $8x$ un operatore costante (che prende in input una qualsiasi funzione di una variabile a valori reali e restituisce la funzione di una variabile a valori reali $8x$). La scrittura $y'+y+8x$ è quella che io chiamo composizione di operatori, ed è un operatore che prende in input una funzione e restituisce un altra funzione. A questo punto, seguendo la stessa logica che ha condotto alla costruzione delle equazioni algebriche, posso scrivere una roba di questo tipo: $y'+y+8x=0$. Questa cosa che ho scritto è chiamata EQUAZIONE DIFFERENZIALE. Quali domande posso pormi? Beh, facciamo le seguenti osservazioni. Proviamo a dare in input all'operatore $y'+y+8x$ una funzione di una variabile. Quest'operatore, che indico con L ad esempio, mi restituirà una funzione di una variabile, cioè $L(f)$. Quest'ultima funzione (l'immagine dell'operatore, insomma), avrà un certo dominio. Può capitare che, su una parte del dominio di $L(f)$ che sia un intervallo I, la funzione $L(f)$ restituisca l'output zero. Allora io dirò che la funzione $f$ (che è quella che è stata mandata nell'operatore $y'+y+8x$ ) è soluzione dell'equazione differenziale sull'intervallo I. Insomma, spero di non aver detto cazzate, ma questo è quello che io intendo per equazione differenziale. Così come un'equazione algebrica ha per ingredienti oggetti che prendono in entrata numeri e restituiscono numeri, allo stesso modo un'equazione differenziale ha per ingredienti oggetti che prendono in input funzioni e restituiscono funzioni, gli operatori appunto. Nel nostro caso si parla di equazione differenziale semplicemente perché nel primo membro dell'equazione c'è di mezzo l'operatore di derivazione. Se ciò non fosse accaduto, avremmo avuto un'equazione funzionale. Perdona eventuali errori di battitura. Buona domenica!
In realtà non c'è bisogno di introdurre necessariamente degli "operatori" per definire cos'è una EDO.
Ad esempio, la seguente è una buona definizione di equazione differenziale ordinaria:
Questa definizione è, praticamente, la definizione "classica" scritta un po' meglio.
La necessità di introdurre il concetto di operatore differenziale nasce da altri tipi di considerazioni, fondamentalmente moderni.
Infatti si è visto che i metodi classici dell'Algebra Lineare possono essere applicati anche alle EDO lineari e quindi conviene introdurre in questo ambito alcuni termini propri della Geometria.
Ad esempio, la seguente è una buona definizione di equazione differenziale ordinaria:
Siano \(n\in \mathbb{N}\) un numero \(\geq 1\), \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n+2}\) un aperto non vuoto ed \(F: \Omega \to \mathbb{R}\) una funzione.
Si chiama equazione differenziale di ordine \(n\) in forma implicita il problema di stabilire se esistono (ed, in caso affermativo, determinare esplicitamente) funzioni \(y:I\to \mathbb{R}\) che godono delle seguenti proprietà:
[list=1][*:9estttem] \(I\subseteq \mathbb{R}\) è un intervallo aperto non vuoto contenuto in \(\operatorname{proj}_1 \Omega\) (cioè \(I\) è contenuto nella proiezione di \(\Omega\) lungo il primo asse coordinato del rifrimento canonico di \(\mathbb{R}^{n+2}\));
[/*:m:9estttem]
[*:9estttem] \(y\) è una funzione derivabile \(n\) volte in \(I\);
[/*:m:9estttem]
[*:9estttem] risulta \((x,y(x),y^\prime (x),\ldots ,y^{(n)}(x)) \in \Omega\) per ogni \(x\in I\);
[/*:m:9estttem]
[*:9estttem] risulta \(F(x,y(x),y^\prime (x),\ldots ,y^{(n)}(x))=0\) per ogni \(x\in I\).[/*:m:9estttem][/list:o:9estttem]
Questo problema si denota sinteticamente col simbolo:
\[
\tag{E}
F(x,y,y^\prime,\ldots ,y^{(n)})=0\; .
\]
Si dice che una EDO d'ordine \(n\) è lineare se e solo se la funzione \(F\) è lineare nelle ultime \(n+1\) variabili da cui dipende; in altre parole, l'equazione (E) è lineare se e solo se esistono \(n+2\) funzioni \(a_0,a_1,\ldots ,a_{n-1},a_n, b:X\to \mathbb{R}\) tali che:
\[
F(x,y_0,y_1,\ldots, y_n) = a_n(x)\ y_n+a_{n-1}(x)\ y_{n-1}\cdots +a_1(x)\ y_1+a_0(x)\ y_0-b(x)\; ,
\]
di modo che l'equazione (E) si può scrivere nella forma:
\[
\tag{L}
a_n(x)\ y^{(n)} +a_{n-1}(x)\ y^{(n-1)}+\cdots +a_1(x)\ y^\prime +a_0(x)\ y =b(x)\; .
\]
Negli altri casi, l'equazione (E) è detta nonlineare.
Questa definizione è, praticamente, la definizione "classica" scritta un po' meglio.
La necessità di introdurre il concetto di operatore differenziale nasce da altri tipi di considerazioni, fondamentalmente moderni.
Infatti si è visto che i metodi classici dell'Algebra Lineare possono essere applicati anche alle EDO lineari e quindi conviene introdurre in questo ambito alcuni termini propri della Geometria.
Ciao, si, credo di aver capito. Praticamente, così come per parlare di equazioni algebriche non è necessario avere in testa il concetto di funzione, allo stesso modo per parlare di equazioni differenziali e funzionali non è necessario il concetto di operatore. Per introdurre il problema delle equazioni algebriche le uniche cose necessarie sono le definizioni di "somma di due numeri, logaritmo di, seno di, coseno di ecc..." e tutto ciò è diverso dalle funzioni somma, logaritmo, seno, coseno ecc..Analogamente, le equazioni differenziali possono essere trattate semplicemente dopo aver dato la definizione di "derivata di", ma non c'è alcun bisogno dell'operatore derivata. E' così?
Ora mi rendo anche conto di quanto diceva Luca Lussardi nel post sulle definizioni matematiche, e cioò che il concetto di funzione è venuto fuori solo in tempi recenti nella Matematica. Io non riuscivo a essere d'accordo con questa affermazione perché pensavo che per fare equazioni fosse necessario avere in testa il concetto di funzione, e dunque non capivo come gli antichi potevano parlare di equazioni senza conoscere le funzioni. Tutto ciò è anche in accordo con il fatto che i libri di matematica quando parlano di equazioni algebriche e funzionali non parlano mai di funzioni e operatori. Quindi io direi che il punto di vista sulle equazioni algebriche e differenziali che ho espresso nel post precedente sia un modo di vedere "moderno", facendo uso dei concetti di funzioni e operatori.
Ciao e grazie!
Ora mi rendo anche conto di quanto diceva Luca Lussardi nel post sulle definizioni matematiche, e cioò che il concetto di funzione è venuto fuori solo in tempi recenti nella Matematica. Io non riuscivo a essere d'accordo con questa affermazione perché pensavo che per fare equazioni fosse necessario avere in testa il concetto di funzione, e dunque non capivo come gli antichi potevano parlare di equazioni senza conoscere le funzioni. Tutto ciò è anche in accordo con il fatto che i libri di matematica quando parlano di equazioni algebriche e funzionali non parlano mai di funzioni e operatori. Quindi io direi che il punto di vista sulle equazioni algebriche e differenziali che ho espresso nel post precedente sia un modo di vedere "moderno", facendo uso dei concetti di funzioni e operatori.
Ciao e grazie!
UP!
Buon natale e non mangiate troppo!
up!
Lisadp, che uppi a fare?
Non vedo domande... Quindi?
Non vedo domande... Quindi?
"gugo82":
Lisadp, che uppi a fare?
Non vedo domande... Quindi?
Volevo avere pareri sull'ultimo post che ho scritto, grazie.
"lisdap":
Buon natale e non mangiate troppo!
Buon anno! A questo cenone non ho fatto indigestione.
"lisdap":
[quote="gugo82"]Lisadp, che uppi a fare?
Non vedo domande... Quindi?
Volevo avere pareri sull'ultimo post che ho scritto, grazie.[/quote]
Ciò che scrivi mi pare sensato.
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